초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식
쌍곡선의 방정식
쌍곡선을 대수적으로 표현해보자. 쌍곡선의 방정식을 간단한 형태로 나타내기 위해서는 중심이 원점이고, 초점이 축 또는 축 위에 있게 하면 된다.
좌표평면에서 두 점 , 을 초점으로 하고 두 초점으로부터 거리의 차가 ()인 쌍곡선 위의 임의의 점을 라 하고, 쌍곡선의 뜻에 따라 방정식을 만들어보자.
두 초점 , 으로부터 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식은
(단, , )
타원의 방정식에서는 상수 는 단축의 꼭짓점의 좌표와 단축의 길이를 나타낼 때 활용되었지만, 쌍곡선에서는 타원과 다르게 단축과 같은 요소는 없다. 그렇다면 쌍곡선의 방정식에 활용된 상수 는 쌍곡선의 어떤 요소와 관련되어 있을까?
쌍곡선 x²/a²-y²/b²=1 탐구하기
아래 지오지브라 애플릿에서 쌍곡선 을 관찰해보고 다음 물음에 답하시오.
작게보기 
도구를 여러 번 이용하거나 터치 조작을 통해 쌍곡선 을 넓은 범위(예를 들어, x축과 y축의 범위가 -1000부터 1000까지 보이는 범위 등)에서 관찰해 보세요. 또, 그 상태에서 슬라이더를 조작하여 , 의 값을 바꾸어 보면서 쌍곡선의 모습을 관찰해보세요.
넓은 범위에서 관찰한 쌍곡선은 어떤 모양으로 보이나요? 또한 이 모양이 두 수 , 와 어떤 관련이 있는지 자신의 생각을 작성해 보세요.
위의 애플릿에서 크게보기 
도구를 이용하거나 좌표평면 오른쪽 위의 재설정 아이콘(
)을 눌러 좁은 범위(예를 들어, x축과 y축의 범위가 -4부터 4까지 보이는 범위 등)로 바꾸세요. 애플릿 왼쪽의 식을 입력할 수 있는 부분(+ 입력... 부분)에 다음과 같이 입력하여 두 직선 와 를 만들어 보세요.
두 직선 와 와 쌍곡선 은 어떤 관계가 있는지 관찰한 것을 바탕으로 자신의 생각을 작성해 보세요.
포물선이 쌍으로 있으면 쌍곡선일까?
쌍곡선은 영어로는 hyperbola이며, 이 단어에는 쌍(雙, pair)의 의미는 들어 있지 않다. 하지만 한글(또는 한자)로 쓸 때의 '쌍'이라는 글자로 인하여 두 개의 곡선이라는 이미지를 강하게 갖게 되는 것 같다. 그래서 이따금씩 쌍곡선이 두 개의 포물선으로 이루어진 것이라고 여기는 사람들이 있으며, 교과서에 잘못 그려진 쌍곡선은 그런 의심을 강화하는 요인이 되기도 한다. 그러나 이는 잘못된 내용이며 쌍곡선과 포물선은 그 형태가 완전히 다르다.
아래 지오지브라 애플릿에는 초점이 , 이고 꼭짓점이 , 인 쌍곡선(초록색 곡선)과 각각 초점이 , 이고 꼭짓점이 , 인 두 포물선(빨간색 곡선)이 있다(파란 점선은 준선이다). 작게보기 도구를 이용하여 넓은 범위에서 두 종류의 곡선을 관찰해보고 그 차이를 알아보자.
도구를 이용하여 넓은 범위에서 두 종류의 곡선을 관찰해보고 그 차이를 알아보자.