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Moebius-Transformation 1 konkret

Autor:
Walter Füchte
Thema:
Kreis, Komplexe Zahlen, Spiegelung, Transformationen oder Abbildungen

Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (12.09.2021) verbessert 30.01.2023

 In der um erweiterten GAUSSschen Zahlenebene sind die gleichsinnigen Möbiustransformationen gerade die gebrochen-linearen Transformationen
  • , mit und .
Die Koeffizienten können im Applet variiert werden! Ihre geometrische Bedeutung ist allerdings kaum zu erkennen. Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen ist isomorph zu . Ungleichsinnige Möbiustransformationen erhält man durch Verknüpfung mit Kreisspiegelungen, zB. mit . Gleichsinnige Möbiustransformationen sind kreistreu und winkeltreu. Irgendwo im geogebra-Handbuch ist angegeben: geogebra unterstützt die komplexen Zahlen nicht! Das stimmt weiterhin an manchen Stellen (s.u.), jedoch läßt sich in geogebra inzwischen trefflich und problemlos mit komplexen Funktionen wie Polynomen in , oder rechnen. Jede nicht-konstante gleichsinnige Möbiustransformation besitzt 2 Fixpunkte oder einen doppelt-zählenden Fixpunkt! Allerdings ist es uns nicht gelungen, die einfache quadratische Gleichung in geogebra-Algebra oder geogebra-CAS zu lösen. Dies ist jedoch auch nicht nötig: mit dem Schulwissen über quadratische Gleichungen berechnet man händisch:
  • , eine doppelt zählende Lösung, wenn die Diskriminante verschwindet.
Dass die Koeffizienten der quadratische Gleichung komplex sind, ist zwar ungewohnt, aber kein Problem: die Funktion erkennt und rechnet komplex! Oben im Applet wird dargestellt, wie eine Möbiustransformation ein -Gitter abbbildet. Zur Information wird auch gezeigt, wie diese Möbiustransformation die orthogonalen Kreisbüschel um und auf ebensolche Kreisbüschel um und abbildet: diese Transformationen sind kreis- und winkeltreu! Besitzt die Transformation nur einen Fixpunkt, sind die abgebildeten Kreisbüschel parabolisch: sie berühren sich im Fixpunkt.

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