Teorema de Thales con espejos
Altura de un objeto cuando su base es accesible
Una aplicación práctica del teorema de Thales, o más concretamente, de la semejanza de triángulos, es el cálculo de la altura de objetos difíciles de medir.
Tan solo necesitamos
- un espejo, que colocaremos en el suelo,
- poder medir la distancia entre el espejo y la base del objeto que queremos medir.
- Cuánto medimos nosotros, para poder comparar. Bueno, para ser más exactos, cuánto medimos hasta nuestros ojos, que es desde donde actúa nuestra vista.
Instrucciones
- Primero, intenta hacer una estimación "a ojo" del ejercicio propuesto. Podemos desplazar a la persona (pulsando sobre ella y arrastrando), para facilitar la comparación. Introduce el valor estimado en la casilla.
- Marcando la casilla Usar espejo, pondremos nuestro espejo en el suelo. Podemos moverlo si queremos.
- En pantalla se mostrarán los datos necesarios para los cálculos:
- nuestra distancia al espejo,
- la del espejo a la base del objeto que queremos medir y
- qué zona del objeto se ve reflejada en el espejo.
- Utilizando el teorema de Thales podemos calcular la altura pedida.
- Escribiremos el valor obtenido en la casilla correspondiente. No hay que preocuparse si es algo diferente al de la nuestra estimación. De hecho, también podrá haber un poco de error respecto la solución verdadera debido a los redondeos.
- Marcando la casilla Ver solución, podremos comprobar si nuestros cálculos eran correctos.
- Importante: siempre que tomamos medidas, será necesario redondear, con lo que introduciremos pequeños errores debido al redondeo.
- Aquí, redondearemos todo con dos decimales.
- Al indicar la solución, se mostrará el valor real y el que se obtiene con los redondeos, haciendo notar cuál ha sido el error.
- Este error de redondeo no es evitable al resolver el ejercicio, pues las propias mediciones de los datos se nos han dado redondeadas. Por tanto, no se tendrá en cuenta a la hora de corregir los ejercicios.
- Pulsando el botón Otro Ejemplo (abajo a la izquierda), se nos propondrá un problema nuevo, que podemos resolver de forma similar.
- Pulsando el botón Ejercicios, podremos resolver nuestros propios enunciados.
- Aunque en la actividad solo hay que introducir los resultados, debemos resolverlos en nuestra libreta, con una buena presentación para que la calificación del applet sea tomada en cuenta por el profesor/a.
- Detalles de los ejercicios:
- Aunque se mide el tiempo, no influye en la calificación.
- Cada ejercicio correcto vale 2 puntos. Los fallos se penalizan con 0.5 puntos.
- El ejercicio es correcto si tanto la aproximación como el cálculo con el teorema de Thales lo son.
- Tendremos un pequeño contador con cuántos ejercicios se han resuelto correctamente, y el total de ejercicios intentados.
- Tanto la aproximación como el cálculo deben ser suficientemente buenos. En la aproximación se permite un margen de error de 2m y en el cálculo con el espejo, de 0.3m
- La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
- Podemos hacer tantos ejercicios como queramos.
Nuestro turno
Ahora que conocemos esta actividad, tenemos un método aproximado para calcular la altura de objetos, como un edificio, un árbol, una farola, etc.
- En la práctica, este método será algo más impreciso que en nuestro applet, pues siempre cometeremos algo de error al medir las distancias y al asegurarnos de estar viendo en el espejo la parte superior del objeto que queremos medir.
- Pero aún así, estaremos obteniendo una buena aproximación.
- Un método para afinar la medida podría ser efectuar varias observaciones y quedarnos con la media de ellas.
- Elegimos un objeto cuya altura queramos medir, como puede ser nuestro instituto, un árbol cercano, una escultura, etc. Si tenemos alguna forma de obtener el dato correcto, nos vendrá genial para contrastar nuestro resultado.
- Medimos nuestra propia altura, desde el suelo hasta los ojos.
- Situamos un espejo en el suelo, a cierta distancia del objeto a medir.
- Nos vamos alejando, mirando el reflejo del objeto en el espejo hasta que veamos la parte superior.
- Anotamos cuánto nos hemos alejado del espejo.
- Realizamos los cálculos utilizando proporciones, al igual que en el applet anterior.
Ampliando conocimientos
- Para practicar y conocer mejor el teorema de Thales, podemos utilizar la actividad interactiva Teorema de Tales (clic aquí).
- Una aplicación muy habitual del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales o para representar fracciones, usando regla y compás. Con la actividad interactiva Dividir en partes iguales con el Teorema de Tales aprenderemos y practicaremos cómo hacerlo.
- Existe una curiosa herramienta, denominada pantógrafo que se utilizaba para cambiar la escala de los dibujos. Su funcionamiento está basado en el teorema de Thales. Si quieres echar un vistazo a una modelización suya, puedes visitar la actividad Pantógrafo. Homotecias y Teorema de Thales (clic aquí).
- Las situaciones en las que, por algún motivo no podemos medir la distancia horizontal a la base del objeto también pueden resolverse mediante la técnica de los espejos. Puede ocurrir si, por ejemplo, hay un objeto intermedio que no nos permite hacer la medición. En este caso, es necesario tomar dos mediciones (ya no hasta la base, claro) y plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Con la actividad Teorema de Thales, espejos y doble observación (clic para abrir) aprenderemos esta técnica. (*) Es necesario conocer el método de igualación de resolución de sistemas de ecuaciones.
Referencias
Fuentes de las imágenes:
- Personajes "romanos", pertenecientes al proyecto MatesGG. CC BY SA.
- Alumnos: generados mediante IA (copilot). Dominio Público.
- Árbol: efendi.sign - Flaticon.
- Casa: generado por IA (copilot). Dominio Público.
- Columna: https://openclipart.org/detail/242000/column-2.
- Farola: https://openclipart.org/image/800px/282326.
- Palmera: https://openclipart.org/detail/206130/brighter-palm-tree.
- "Silo" y "silo reflejado en un espejo": fotografías de Beatriz Blanco Otano. CC BY SA.
- Torre: generado por IA (copilot). Dominio Público.