Conjeturas a partir de los puntos medios (4)
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra G4D en Divulgamat.
De nuevo, la construcción de la figura interactiva anterior no tiene ninguna dificultad y permite observar y analizar múltiples ejemplos de cuadriláteros en poco tiempo.
En esta ocasión se puede comprobar que la razón entre las áreas del nuevo cuadrilátero “de los puntos medios” y del original es de nuevo constante (incluso para cuadriláteros cóncavos), pero tiene otro valor: 0,5 .
La justificación de ese resultado puede ser más complicada de encontrar para los chavales. Una posibilidad es la de dividir el cuadrilátero en dos triángulos y éstos en nuevos triángulos “de puntos medios”, como puede observarse en la figura.
A partir de esa descomposición se pueden encontrar pares de triángulos iguales que justificarán el resultado anterior, al menos en el caso de los cuadriláteros convexos.
Si se compara la situación de los cuadriláteros con la anterior de los triángulos, comprobaremos que la relación de semejanza ha desaparecido. A cambio, se pueden observar y de nuevo intentar justificar nuevas
propiedades: ¿Qué tienen de particular o qué tienen en común todos los polígonos obtenidos a partir de los puntos medios de un cuadrilátero?
Puedes ver muchos de ellos en la siguiente figura interactiva: