Carré mobile
On s'intéresse à l'étude des lieux de certains points d'un carré lorsqu'on fait glisser deux des sommets A et B de ce carré sur deux droites perpendiculaires.
Étude du milieu I du carré (première case à cocher)
Un carré ABCD, de côté de longueur a, est placée de telle façon que le sommet A est un point variable de l'axe des abscisses (Ox) et le sommet B est sur le demi-axe des ordonnées [Oy).
Avec le point A, on déplace le carré en « faisant glisser » les sommets A et B sur les axes.
Lieu du milieu I du carré (deuxième case à cocher)
BIA et BOA sont deux triangles rectangles inscrits dans le cercle de diamètre [BA]. Dans ce cercle, les angles inscrits ABI et AOI sont égaux, égaux à 45°.
Le point I se trouve sur la droite fixe passant par O faisant cet angle égal à ABC avec l'axe (Ox).
Le lieu de ce point est un segment porté par cette bissectrice des deux axes.
Cocher une des cases et déplacer le point A : Ctrl F rafraîchit l'affichage, en effaçant les traces des points.
Étude du lieu du sommet D (troisième case à cocher)
En déplaçant le point A, on peut conjecturer que le point D semble appartenir à une conique.
On trouve alors cinq positions particulières du point D :
A1(a, 0) ; D1(a, a) ; D2 ; D3 ; D4(–a, –a).
GeoGebra permet de tracer la conique passant par ces cinq points.
Leu du sommet D (quatrième case à cocher)
GeoGebra affiche cette demi-ellipse de D1 à D4 comme lieu du point D, qui se confond avec la courbe précédente.
Cet exercice est un variante du problème de l'échelle contre un mur : le lieu du milieu du côté [AB] est alors un demi-cercle de rayon la moitié du côté.
Descartes et les Mathématiques - Lieux géométriques au collège