双曲線上の三角形
赤い双曲線上に三角形DEFを作る。Hはその垂心。Fを動かしてみよう。図の角度の証明は簡単。①次にCを動かして赤と青を重ねると直角双曲線になり、Hは一つの直角双曲線上にある。②さらにDを動かしてDEがOと重なるようにする。するとLI＝LKとなるので、双曲線上のどの点でも赤い角度は等しくなる。
直角双曲線上の三角形において、底辺の中点が双曲線の中心にある時に角度が等しくなることの証明
①双曲線上の三角形において、垂心の軌跡を作る。
その垂心と底辺の点を結ぶと赤い角度が等しくなるのは垂心からすぐにわかる。
②垂心の作る双曲線と元の双曲線を一致させると、直角双曲線となる。
垂心と頂点が同じ双曲線上に並ぶ。
③この時、半径LIの円を描くと、LKとは一致していないので、垂心以外の双曲線上の点では赤角は同じにならない。
④そこで、LI＝LKにさせるために、Dを上に移動させる。
するとDEが双曲線の中心Oと重なる所でLI＝LKとなることがわかる。
⑤これは、双曲線上のどの点でも赤角が同じになることを示している。