Magasságpont(ok)
- Szerző:
- Szilassi Lajos
- Témák:
- Magasságpont
Az ortocentrikus pontnégyes
Itt felvetettünk néhány kérdést a háromszög és a tetraéder kapcsolatáról.
Ezek közül most vegyük szemügyre egy háromszög magasságpontját.
Az alábbi appletben megrajzoltuk egy háromszög csúcsait, oldalegyeneseit, magasságegyeneseit és magasságpontját. Melyik a háromszög, és melyik a magasságpont?
Ebben az appletben négy ugyanolyan "rangú" pontot látunk: bármelyiket magasságpontnak választva (a piros ponttal), a másik három lesz a háromszög három csúcsa.
Ezt a négy pont, egy un. ortocentrikus pontnégyest alkot. Bár olvasóink könnyen észreveszik, hogy melyek a szabad pontok és melyik a szerkesztett, ettől nem függ a négy pont egyenrangú szerepe.
Ilyen egyenrangú pontokból és egyenesekből álló konstrukcióval itt a második appletben is találkozhatunk, ahol hasonló módon kijelölhetünk egy pontot, amitől a többinek egyszeriben más-más lesz a szerepük.
Érdeklődőbb olvasóink töltsék le ezt a könnyen követhető ggb fájlt, ahol egyszerű példát láthatnak arra, milyen programozástechnikai fogás kellett ehhez e "kijelölés"-hez. Erről itt olvashatunk kissé bővebben.
A tetraéder magasságvonalai, magasságpontja.
Mint már említettük, a tetraéder magasságegyenesein a csúcsokból a szemközti lap síkjára bocsátott merőleges egyeneseket, a magasság talppontján a csúcsnak a szemközti lap síkjára eső merőleges vetületét, egy adott csúcshoz és a szemközti laphoz tartozó magasságán a csúcs és a szemközti lap síkjának a távolságát érjük.
A tetraéder magasságpontja a négy magasságegyenes közös pontja.
Vajon van-e minden tetraédernek magasságpontja?
Az alábbi applet kezdő helyzetében megadott csúcsok olyan tetraédert alkotnak, amelynek van. De mi történik, ha a csúcs mozgatásával, vagy a beviteli mezőkbe írt más adatokkal új tetraédert kapunk?
Például javasoljuk, hogy a C pont koordinátáit változtassák rendre a (0,4,2); (2,4,2); (2,4,0); (0,4,-1)
értékekre.
Vagy az A,B,C pontokat kezdő helyzetben hagyva legyen most D=(0,0,4) ! Mit tapasztalunk?Egy (majdnem) általános tetraéder
Miután meggyőződtek olvasóink arról, hogy a négy magasságegyenes nem minden esetben illeszkedik egy pontra. Lehet, hogy két-két magasságegyenes különböző pontban metszi egymás, vagy páronként kitérők. Tehát nem minden tetraédernek van magasságpontja! Sőt: a legtöbb esetben nincs.
A magasságpontos tetraéder tulajdonságai
Az alábbi appletben megadott tetraédernek van magasságpontja.
Vajon itt is érvényes, hogy a konstrukció az öt pontja közül bármelyik magasságpontja a további négy által meghatározott tetraédernek?
Ebben az appletben csak a 3D-s képernyőt láthatjuk. Itt egyszerűbb (??) módszerrel, a ◀ és ▶ jelekkel választhatjuk ki, hogy melyik legyen a kiválasztott magasságpont.
Van a képernyőn még egy jel: ⟂ amely egy két állapotú kapcsoló. Állapotát az ikon háttérszíne jelzi.
Azt vezérli, hogy lássuk-e az éppen látható tetraéder lapjainak - mit háromszögeknek - a magasságvonalait, ill. a tetraéder test magasságvonalát.
Bízunk benne, hogy olvasóink hamar rájönnek, hogy az öt pont közül melyek a szabadon (vagy félig) szabadon) mozgathatók, amelyek a többit egyérelműen meghatározzák.
Vegyük észre, hogy ...
- A fenti applet öt pontja (A, B, C, D, E) valóban egyenrangú: bármelyik lehet a maradék négy pont által meghatározott tetraéder magasságpontja.
- Ezek a pontok nyolc háromszöget határoznak meg. ( ABC, ABD, ABE ,ACD, ACE, BCD, BCE, CDE), melyek mindegyike pontosan két tetraédernek a lapja.
- Általános esetben a tetraéderek közül egy olyan van, amelynek belső pontja a magasságpont, minden lapszöge hegyesszög, ez előáll a másik négy egymáshoz illesztésével.
- A ▶ jellel elérhető utolsó két összeállítás mutatja be, hogy egy csúcsnak a szemközti lapra eső merőleges vetülete ( a csúcshoz tartozó magasság talppontja) a lap magasságpontja.
- Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor merőleges a sík összes egyenesére is, ezért a tetraéder egyik élére és a magasságpontjára illeszkedő síkra merőleges a kiválasztott éllel szemközti él. Vagyis a magasságponttal rendelkező tetraéderek szemközti élei merőlegesek egymásra. Így ezeket a tetraédereket ortogonális tetraédereknek is szokás nevezni.