Massimi e minimi vincolati: condizione necessaria
Ci poniamo l'obiettivo di trovare i punti di massimo e minimo di una funzione a due variabili che rispettino un vincolo sui valori di e con espressione .
Il paraboloide di rotazione in figura ha evidentemente un massimo nell'origine. Se però attraverso lo slider attiviamo il vincolo , esso ci obbliga a muoverci sui punti del paraboloide che si trovano sul piano identificato da , cioè dalla sezione parabolica in rosso. Vediamo che in questo caso si ha un massimo vincolato in corrispondenza del vertice di tale parabola.
CURVE DI LIVELLO E GRADIENTE
Per poter ragionare su come trovare i punti di massimo e minimo che soddisfino un determinato vincolo abbiamo bisogno di introdurre due strumenti.
LE CURVE DI LIVELLO
Consideriamo un piano ; se lo intersechiamo con una funzione troveremo tutti i punti della funzione che che si trovato a quota , cioè che hanno come risultato. L'insieme di questi punti che sono tutti alla stessa altezza viene definito curva di livello.
IL GRADIENTE
Data una funzione poniamoci ora il problema di calcolare di quanto cambia il suo output se ci spostiamo di una quantità "piccola" rispetto ad un punto ?
Partendo dal concetto di differenziale, sappiamo che se lo spostamento avviene lungo la direzione la variazione dell'output sarà pari a , mentre se lo spostamento è concentrato lungo le si avrà una variazione .
Ne deriva che se consideriamo uno spostamento pari alla somma delle due componenti lungo gli assi, la variazione di input totale è pari a che a sua volta può essere visto come il prodotto scalare tra due vettori , rispettivamente con componenti e pari a e .
Il vettore indica lo spostamento, mentre , che è detto gradiente della funzione, indica la direzione lungo la quale è orientato la variazione di output della funzione (quella lungo la quale sale più rapidamente). Supponendo ad esempio che in un certo punto sia , significherebbe che l'output della funzione non cambia lungo quella direzione (dove è "piatta"), e tutto il cambiamento è concentrato nella direzione , infatti uno spostamento rispetto ad porterebbe ad una variazione nulla , mentre uno spostamento è associato alla variazione massima possibile che "approfitta" di tutta l'inclinazione disponibile .
Generalizzando, partendo da un punto della funzione spostandosi lungo la direzione del gradiente avremo la variazione massima dell'output ("approfittiamo al massimo" dell'inclinazione della funzione nelle due direzioni"), mentre muovendosi perpendicolarmente ad esso avremo variazione nulla.
Muovendo lo slider si cambia la quota e le curve di livello corrispondenti (sia in 3D che in 2D). Muovendo lo slider si visualizzano le derivate parziali lungo e , come tangenti alla sezione [parabolica] nella rispettiva direzione, ed il gradiente , che si può vedere come somma delle due derivate parziali, e tanto più una derivata parziale è ripida, tanto più il gradiente è orientato verso di essa. L'effetto è massimizzato ai vertici dell'ellisse (dove una delle derivate è nulla) e nei punti limitrofi.
RELAZIONE TRA GRADIENTE E VINCOLONEI PUNTI CRITICI
Nell'animazione successiva rivediamo il paraboloide del nostro primo esempio, il paraboloide di cui cerchiamo il massimo che si rispetti il vincolo con .
In questo caso, dato che il vincolo può essere visto anche come , è possibile applicare una sostituzione a , e trovare il massimo tramite un normale studio di funzione ad una variabile. Dato che non è sempre possibile esplicitare una delle variabili dal vincolo ed effettuare una sostituzione, partiamo da questo caso semplice per scoprire un metodo più generale.
Trascinando il punto lungo il vincolo rosso nella versione 2D, vediamo come cambia il gradiente: vediamo innanzitutto che è orientato sempre verso il centro della circonferenza di livello, dato che lì si trova il vertice del paraboloide, questa direzione in genere fa sì che il gradiente sia orientato per buona parte lungo il piano del vincolo, perchè è in quella direzione che si trova la componente maggiore di pendenza; c'è una componente minore "dietro al piano" che completa l'orientamento verso il vertice del paraboloide. Questo significa che muovendosi lungo il vincolo c'è una componente importante del gradiente (quella tratteggiata in verde) che permette di "salire" (o "scendere", a seconda del verso con cui ci si muove) ancora, cioè di aumentare l'output di , e quindi dato che si può ancora salire non siamo in un punto di massimo.
La situazione cambia quando siamo nel vertice della parabola rossa: lì il gradiente è perpendicolare al percorso del vincolo, e quindi percorrendo il vincolo non si beneficia di nessuna componente di crescita, ed al contrario appena ci spostiamo c'è una componente che indica che saliamo tornando indietro: siamo in un punto di massimo.
In questo secondo esempio il vincolo è definito dalla circonferenza , che in 3D sulla superficie del paraboloide "ritaglia" un'ellisse (e che non permette di isolare una variabile e sostituirla). Anche in questo caso il gradiente è orientato verso il centro della curva di livello, cioè verso il vertice del paraboloide. Si vede che muovendosi in 2D lungo il vincolo, cioè lungo la tangente alla circonferenza, in genere si ha una componente del gradiente lungo quella direzione, che indica che si sta "salendo" o "scendendo". L'unica eccezione sono i due punti del vincolo rosso lungo l'asse y, in cui il gradiente è perpendicolare e quindi un ulteriore movimento non comporta ulteriore "salita" o "discesa": in un caso punto con siamo in un massimo, perchè appena ci muoviamo la componente del gradiente tratteggiata indica che per salire dobbiamo tornare sui nostri passi, mentre nell'altro, con siamo in un minimo perchè muovendoci da lì in entrambe i versi la componente del gradiente tratteggiata indica che continuando saliremo. Il tutto è chiaramente confermato in 3D.
Ne possiamo concludere che i punti di minimo o di massimo sono quelli in cui il gradiente è perpendicolare al vincolo, perchè negli altri punti muovendosi lungo il vincolo, si può "cogliere" una componente del gradiente che permette "salire" o di "scendere".
Anche in quest'ultimo esempio, più articolato puoi vedere che muovendo il punto lungo la retta del vincolo nella sezione 2D, il minimo sulla parabola rossa (il percorso definito dal vincolo sulla superficie della funzione) viene raggiunto quando il gradiente è perpendicolare al vincolo della retta 2D, cioè non offre componenti di crescita o lungo il vincolo.
CONDIZIONI NECESSARIE E PUNTI CRITICI: LA LAGRANGIANA
Dalle nostre osservazioni abbiamo scoperto che in un punto di minimo o massimo vincolato il gradiente della funzione deve essere perpendicolare alla curva di livello. Per impostare matematicamente questa condizione dobbiamo rielaborare il concetto di curva di livello per capire come definire la sua "direzione", e di conseguenza la sua perpendicolare.
Osservando meglio il vincolo
ci accorgiamo può essere visto come una curva di livello della funzione . Di conseguenza il suo gradiente di questa funzione, , sarà sempre perpendicolare alle sue curve di livello, ed in particolare a quella corrispondente al vincolo (1), esattamente come il gradiente di f è sempre perpendicolare alle curve di livello di questa funzione, come visto all'inizio di questo capitolo.
Ne consegue che se il gradiente deve essere perpendicolare alla curva del vincolo, esattamente come lo è il gradiente della funzione associata al vincolo, i due gradienti devono essere paralleli, cioè uguali a meno di una costante di proporzionalità .
Il che equivale a dire che le rispettive componenti lungo e devono essere proporzionali
La seconda riformulazione ci ricorda la condizione necessaria dei punti critici per i massimi e minimi liberi, cioè il fatto che si devono annullare le derivate prime. Se definiamo infatti la funzione
il sistema appena impostato coincide proprio con le condizioni . Se facciamo un passo ulteriore e trasformiamo il parametro di proporzionalità in una terza variabile, ci accorgiamo che la derivata parziale rispetto ad essa risulta
e quindi porla uguale a zero equivale a
cioè ad imporre che il vincolo sia soddisfatto.
Data una funzione di cui vogliamo trovare i massimi ed i minimi rispetto ad un vincolo , possiamo quindi definire una funzione a tre variabili
chiamata Lagrangiana; la condizione necessaria che già conosciamo sulle sue derivate parziali nulle equivale a
dove
- le prime due equazioni, in nero, indicano che il gradiente di è proporzionale (e quindi parallelo) a quello della funzione associata alla curva di livello e quindi siamo su un punto in cui il gradiente di è perpendicolare al vincolo: abbiamo visto che questo indica che il punto è stazionario per
- la terza equazione, in blu, indica che il punto stazionario appena trovato soddisfa il vincolo, come richiesto.