１．複素平面
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
ｒで拡大、θで回転
1。複素数と演算
＜複素数と定義と複素平面＞
実数Rの要素a,bを使い、虚数単位i(i2=-1)の一次式z=a+biで表すことができる数を複素数[complex number]
という。環境によっては、虚数単位[imaginary unit]iをiと
イタリックにしたりjを使ったりすることもある。pythonのように。
aとbだけを抜き出して(a,b)のように座標や位置ベクトルと同様にかくこともできる。
aを実部、bを虚部という。
（例）
z=0+ 0 i は複素平面の原点O(0 ,0)に対応する。極座標はO=(0; θ)
z= i は複素平面の点A(0 ,1)に対応する。極座標は A=(1; π/2)
z= -1 は複素平面の点B(-1 ,0)に対応する。極座標は B=(1; π)
z=1/2+ √3/2 i は複素平面の点C(1/2 ,√3/2)に対応する。極座標はC=(1; π/3)
＜共役複素数＞
複素数z1=a+biとz2=c+diが等しいのは(a==c ∧b==d）に限る(==はGeogebraの論理表現）
複素数z1とz2の実部が等しく、虚部の和が０になる複素数の組を互いに共役[conjugate]という。
z=a+biの共役複素数zバー()=a-biとなる。
バーが表示できない環境では、*(アスタリスク)をつけて、z*とかくことがある。
（注意）Geogebraのテキスト画面では、数学記号として mathと\mathを[ ]に入れて
開始タグと終了タグとし、その中に\overline{ ｚ }などと記述すればよい。アプリの中では、
数学記号タグ不要で、いきなりtex文とかけばよい。tex文は文字の前に\ナントカという命令をつける。
共役記号は、和、差、定数倍、積、商どれにでも、部分に分解して入り込める。
つまり、
（理由）
α=(a, b), β=(c,d) と実部、虚部を座標のようにかいて途中をたどってみよう。
複素数の和・差はベクトルと同じで各成分の和差とする。
公式以外の記述では共役は*で表すことにする。
α+β=(a+c, b+d) だから、(α+β)*=(a+c, -b-d)。
一方で、α*+β*=(a, -b)+(c,-d)=(a+c,-b-d)
また、差はdを-dに,cを-dにするだけだから、成り立つ。
複素数の積・商は多項式の積・分数式の有理化との類比で定義されている。
αβ=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)iと展開してiについて整理できる。
だから、(αβ)*=(ac-bd)-(ad+bc)i。
一方、α*β*=(a-bi)(c-di)=ac-adi-bci+bdi2=(ac-bd)-(ad+bc)i
1/α=1/(a+bi)=(a-bi)/((a+bi)(a-bi))=(a-bi)/(a2+b2)だから、(1/α)*=(a+bi)/(a2+b2)
一方、1/α*=1/(a-bi)=(a+bi)/((a-bi)(a+bi))=(a+bi)/(a2+b2)
積も逆数も共役複素数は演算の前に分解できるから、商も分解できることになる。
＜絶対値＞
複素数 の大きさとは、複素数の実部と虚部をそれぞれR座標、Z座標とする平面での位置ベクトルのサイズ|z|のことで、 で求められる。
一方で、
のように、複素数に共役複素数をかけると、複素数の絶対値の２乗を求めることができる。
もちろん、|z*|=|z|だから、絶対値記号があるときは共役記号は消せるね！
一方で,
複素数を極形式でz1=(r1 ; θ1) , z2=(r1; θ2)と表すと、
|z1・z2| =|(r1・r2；θ1+θ2)|＝r1・r2=|z1||z2|。
|z1/z2| =|(r1/r2；θ1-θ2)|＝r1/r2=|z1|/|z2|。
このように、動径は演算と同じで、偏角は積なら和、商なら差になる。
ということは絶対値は、動径の問題なので、複素数の積・商の絶対値は、絶対値の積・商になるね。
（例）
「aが実数のとき２次方程式x2+ax+4a=0が絶対値が４の２つの虚数解をもつときのa」は?
２つの虚数解をαとβとすると、解と係数の関係からαβ=4a、α+β=-a。
そして、虚数解は共役複素数のペアになることから、αβ=αα*=4・4=16。4a=16からa=4。
＜複素数の実数条件＞
成分で表すなら明らかに実数条件は虚部＝０というだけのことだね。
しかし、共役複素数(*）を使うと、成分表示をしなくても実数条件が表せる。
z=z*。
これで、虚部＝０と必要十分だね。計算は省略しよう。
（例）
「z+1/zが実数である条件」は？
z+1/z-(z+1/z)*=z+1/z-z*-1/z*=0と同値。zz*=r2とする。
ｚ≠0のとき、zz*をかけると
zzz*+z*-zz*z*-z=0
r2(z-z*)-(z-z*)=(r2-1)(z-z*)=0。
だから、|z|=1かｚはｚ≠0の実数となる。
（例）
「z=(1+αi)/(1-αi)（α≠-i)なら、αが実数⇔|z|=1」はどうしてか？
p=1+αi, q=1-αi。αα*=r2とする。
（⇒）|p|=|q|=√(1+α2)=kとする。|z|=k/k=1。
（逆）p*=1+(αi)*=1+(α)*(i)*=1-α*i, q*=1-(αi)*=1-(α)*(i)*=1+α*i,
|z|2=(p/q)・(p/q)*=(p/q)・((1-α*i)/(1+α*i))=1
p(1-α*i)-q(1+α*i)=(1+αi)(1-α*i)-(1-αi)(1+α*i)=1+(α-α*)i+r2-(1+(α*-α)i+r2)=2(α-α*)i =0
これから、α-α*=0となる。だから、α=α*となり、αは実数。
★極形式とド・モアブルで楽に解こう
２．ド・モアブルの定理
＜ド・モアブルの定理＞
(cosθ+ isinθ)n=cos nθ+isin nθ
（理由）
z=(ｒ; θ) とすると、ｚの成分は(r cosθ, r sinθ)となるから、z= r(cosθ+isinθ)。
複素数の積の定義から、極形式でかくとzz=(rr;θ+θ)=(r2；2θ)。
これから、zn=(rn ；nθ) 、zn=(rn cosnθ, rn sinnθ)=rn(cosnθ + i sinnθ)。
これから、 (r(cosθ+isinθ))n=rn(cosnθ + i sinnθ) この式でr=1とすればよい。
（例）
「Z3＝-8iとなる解ｚ」は？
z3=(8；270度±360k度)だから、θ={270,630,-90}/3={90,210,-30}(度)など。
z={(２；90度), (２；210度), (２；-30度)}={(0,2),(-√3,-1),(√3,-1)}
（例）
「方程式z3-3z2+3z-1-i=0の解z」は?
p=z-1とおくと、z=p+1で、p3=i＝(1; 90度±360k度) だから、θ={90,450,-270}/3={30,150,-90}(度)など。
p={(1;30度),(1;150度),(1;-90度)}={(√3/2,1/2),(-√3/2,1/2),(0,-1)}
z=p+1=p+(1;0)={(√3/2,1/2),(-√3/2,1/2),(-1,0)}+(0,-1)={(1+√3/2,1/2),(1-√3/2,1/2),(1,-1)}
（例）
「F(x)=(x+ai)n=p(x)+q(x)iで、実部と虚部が実数の整式ならp(x)をx-aで割った余り」は?
F(a)=(a+ai)n=p(a)+q(a)iとなる。(a+ai)n=(√2a; 45度)n=(√2a)n(cos45n, sin45n)
=(√2a)ncos45n+ (√2a)nsin45n iより、p(x)をｘ-aで割った余りp(a)=(√2a)ncos45n。
（例）
「α、βがα2+β2=αβ、|α-β|=3を満たすとき原点Oとα、βを頂点とする三角形の面積」は？
α2+β2=αβの両辺をα2で割り、Z＝β/αとおくと、1+z2=z 。ｚ2-z+1=0。z=(1±√3i)/2=β/α
z=(1；±60度) から、βはαを±60度回転したもの。
|α-β|=|α-(1±√3i)/2α|=|1-(1±√3i)/2||α|=|(1/2, ±√3/2)||α|=1・|α|=|α|=3。
だから、三角形Oαβは一辺3の正三角形となる。
面積は1/2・3・3・sin30度＝9/2・√3/2=9/4√3。