13.1 Diag Matrices Simétricas
- Autor:
- Alfonso Meléndez
Matrices 2x2
Matrices 3x3
Matrices Simétricas
No es exagerado decir que las matrices simétricas son las matrices más importantes en la teoría del álgebra lineal y también en las aplicaciones.
¿Qué tienen de especial las matrices simétricas?
1. Una matriz simétrica siempre tiene valores Propios reales
2. Los vectores propios siempre son ortogonales.
Toda matriz simétrica se puede diagonalizar y la matriz P es una matriz ortogonal, las matrices ortogonales tiene la propiedad que su Inversa es igual a su Traspuesta.
Matrices Definidas Positivas
Una matriz es definida positiva si todos sus valores propios son positivos.
Si la simetría hace que una matriz sea importante, esta propiedad adicional (todos los valores propios positivos) la hace verdaderamente especial. Cuando decimos especial, no nos referimos a raro. Las Matrices simétricas con valores propios positivos están en el centro de todo tipo de aplicaciones.
El primer problema es:
¿cómo saber si una matriz es definida positiva?
Una manera es calcular los valores propios y ver si son positivos, esto es exactamente lo que queremos evitar. Calcular valores propios en general es duro trabajo hay formas más rápidas.
Entonces tenemos que:
• Encontrar pruebas rápidas en una matriz simétrica que garanticen valores propios positivos.
• Explicar aplicaciones importantes de las matrices definidas positivas.