Equações reduzidas da reta

Tópico:
Equações, Retas

Na atividade anterior vimos que aquelas equações reduzidas que representam retas no plano, quando consideradas no espaço, representam equações de planos perpendiculares ao plano coordenado associado às variáveis envolvidas pela equação. Assim, por exemplo, a equação y = -2z + 3 representa um plano perpendicular ao plano yOz.

CONSTRUÇÃO 1

No espaço, a equação da reta pode assumir várias formas: vetorial, paramétrica, simétrica ou reduzida. Uma das formas de interpretar uma reta no espaço é como a solução de um sistema linear com duas equações nas incógnitas x, y e z. Quando estas duas equações aparecem na forma reduzida (duas das incógnitas dadas em função da terceira), temos as equações reduzidas da reta no espaço. Outra forma de interpretar as equações reduzidas é como se fossem as equações paramétricas e pensar no parâmetro como sendo essa terceira incógnita. Assim, por exemplo, o sistema que aparece na janela da direita na CONSTRUÇÃO 1 quando esta é reiniciada poderia ser interpretado como:

em que λ, que é igual a z, é o parâmetro.

QUESTÃO 1

Uma reta possui mais de um conjunto de equações reduzidas. Na CONSTRUÇÃO 1 você tem as equações dadas em função da variável z, mas é possível encontrar também os sistemas dados em função de x e de y. Por exemplo, para encontrar as equações dadas em função de x, basta considerar a equação paramétrica escrita acima e isolar λ na primeira equação e substituir os valores encontrados nas outras duas. Encontre os dois outros sistemas de equações reduzidas para o sistema que aparece na CONSTRUÇÃO 1 e utilize a CONSTRUÇÃO 2 para confirmar que a reta obtida é realmente a mesma. Isso pode ser feito digitando no campo de entrada as 6 equações e confirmando que todos os planos gerados pelas equações encontradas se intersectam na mesma reta. A reta pode ser produzida como a interseção entre os dois planos usando a ferramenta de Interseção de Duas Superfícies Toolbar Image.

CONSTRUÇÃO 2

QUESTÃO 3

Manipule os controles deslizantes na CONSTRUÇÃO 3 e descreva que relação você percebe entre os coeficientes das equações reduzidas da reta e as coordenadas do ponto Z em que a reta intersecta o plano xOy.

CONSTRUÇÃO 3

QUESTÃO 4

Na CONSTRUÇÃO 4 são exibidos os pontos X, Y e Z de interseção da reta com os planos coordenados xOz, yOz e xOy, respectivamente, e os três sistemas de equações reduzidas da reta. Já vimos na questão anterior como se relacionam as coordenadas do ponto Z com o terceio sistema de equações. A reta amarela passa pelos pontos A e B, forneça diferentes valores para as coordenadas desses pontos e obtenha diferentes retas, modificando assim as equações. A partir daí, compare as coordenadas dos pontos X e Y com os coeficientes dos dois primeiros sistemas de equações reduzidas e descreva o que você percebeu.

CONSTRUÇÃO 4

QUESTÃO 5

As interseções dos planos produzidos pelas equações reduzidas de uma reta do espaço com os planos coordenados ao qual são perpendiculares produzem novas retas, as quais chamamos de projeções ortogonais da reta original sobre os planos coordenados. Será que você seria capaz de descobrir as equações segmentárias dessas projeções a partir das equações reduzidas da reta original? Com o auxílio da CONSTRUÇÃO 5 é possível exibir os planos associados a cada equação simplesmente clicando nas caixas x1, x2, y1, y2, z1 e z2. A interseção destes planos com os planos coordenados (projeção da reta no plano) é automaticamente exibida. Manipule a construção e descreva suas descobertas.

CONSTRUÇÃO 5

QUESTÃO 6

O que ocorre com a reta quando, retornando à CONSTRUÇÃO 1, fazemos a = 0? E se fizermos c = 0? E se fizermos a = c = 0?