Ellipsen & 6-Eck-Netze aus Kreisen
- Author:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. verbessert(31. März. 2023) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze
6-Eck-Netze aus Kreisen an Ellipsen und anderen Kegelschnitten:
W. Blaschke's Frage (1938) nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen und Geraden ist eine möbiusgeometrische Fragestellung.
Kegelschnitte sind möbiusgeometrisch spezielle bizirkulare Quartiken: 2 oder 3 der 4 Brennpunkte, die bizirkulare
Quartiken auszeichnen, fallen in zusammen.
In der Aktivität Andere 6-Eck-Netze haben wir für 2-teilige bizirkulare Quartiken besondere 6-Eck-Netze zusammengestellt.
Diese Zusammenstellung übertragen wir im obigen Applet auf Mittelpunkts-Kegelschnitte.
Angestrebt hatten wir, dass die Ergebnisse auch für Hyperbeln dargestellt werden: der Scheitel s liegt dann zwischen f und f'.
Leider kommt uns dabei eine Besonderheit der Kreise und von geogebra in die Quere:
2 Kreise besitzen in der Regel 2 Schnittpunkte; welcher davon angezeigt wird, hängt von der Lage der Kreise ab.
Veränderung der Lage können chaotische Folgen zeitigen. "6-Ecke" liegen dann zwar noch vor - sind aber kaum zu erkennen.
Die oben entstehenden Bilder lassen sich inhaltlich auf Hyperbeln übertragen.
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte; den Kreis durch die Brennpunkte
bezeichnen wir als Hauptachse. Mit der Hauptachse besitzen diese Quartiken 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise.
Zu jeder Symmetrie existiert eine Schar doppelt-berührender Kreise.
Aus den drei Scharen, die nicht zur Hauptachse gehören, lassen sich 6-Eck-Netze bilden (W. WUNDERLICH 1938 [WUNW]).
Durch jeden Punkt des in Frage kommenden Gebietes außerhalb der Quartik gehen genau 2 Kreise aus jeder der 3 Scharen,
man kann daraus 23 = 8 verschiedene 6-Eck-Netze bilden.
Konstruieren lassen sich diese Netze mit Hilfe eines der Brennpunkte und den zugehörigen 3 Leitkreisen der 3 Scharen.
Mittelpunkts-Kegelschnitte besitzen 2 Symmetrie-Achsen. In der Grenze gehen die Quadriken aus 2-teiligen Quartiken hervor,
wenn 2 Brennpunkte in zusammenfallen. Bei diesem Grenzübergang (Kegelschnitte als Limit) fallen 2 der Leitkreise
zusammen in den zu den Kegelschnitt-Tangenten gehörenden Leitkreis.
Man könnte sagen, dass die 2 Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kegelschnitts zu 2 veschiedenen
Symmetrieen gehören: tatsächlich erzeugen die doppelt-berührenden Kreise und die 2 Tangentenscharen
ein 6-Eck-Netz: 1. Beispiel oben! (Für 2-teilige Quartiken entstehen in der Regel keine 6-Eck-Netze, wenn 2 der Scharen zu derselben Symmetrie gehören!)
Neu ist, das eine der drei Scharen ersetzt werden kann durch eine der Brennkreis-Scharen:
Für Ellipsen sind das
- entweder die Brennstrahlen durch einen der Brennpunkte
- oder die konzentrischen Kreise um einen der Brennpunkte
- oder das elliptische Kreisbüschel durch die beiden Brennpunkte
- oder das orthogonale hyperbolische Kreisbüschel um die beiden Brennpunkte
Unten:
Die Tangenten einer Kurve 3. Klasse erzeugen ein 6-Eck-Netz aus Geraden (Satz von GRAF & SAUER [GRA_SA]).
Das Produkt eines Kegelschnitts mit einem Punkt ist eine Kurve 3. Klasse:
Durch fast jeden Punkt außerhalb der Ellipse gehen genau 3 der Geraden. z0 ist ziemlich frei beweglich!