Peter, der korrekte Autofahrer: Änderungen von Funktionen
Von der Beschreibung des Ortes zur Änderung des Ortes
Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120km/h herrscht. Nach einer Pause in Lüttich fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten De Panne (s. Abb.1). Am Ziel schaut Peter auf die Uhr: er hat nur 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt? Untersuche dies mithilfe der Anweisungen und den Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber.
Vom Ort zur Geschwindigkeit
Auf Abb. 2 siehst du den Ort in Abhängigkeit zur Zeit aufgetragen. Punkt P(1|120) bedeutet zum Beispiel, dass Peter nach 1 Stunde 120km gefahren ist. Doch wie schnell war er jetzt durchschnittlich?
In der Unterstufe ist dir in Mathematik oder Physik sicher einmal die Formel begegnet. Das bedeutet: um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu berechnen, musst du nur die gefahrene Strecke durch die benötigte Zeit dividieren. Eventuell musst du noch die Einheiten umwandeln, um auf zu kommen. Berechne Peters gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit einmal selbst!
Abb. 2.1 Der Fahrtenschreiber: Lösung a) und b)
Weitere Durchschnittsgeschwindigkeiten
Notiere erst die Lösungen zu a) und b), bevor du weiter machst!
Du hast jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit über den gesamten Zeitraum berechnet. Kommt dir die Formel zur Berechnung nicht etwas bekannt vor? Richtig! Hier wurde die durchschnittliche Änderung "durch ein Steigungsdreieck" bestimmt, dessen Steigung sich durch die Formel berechnen lässt!
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird ja die Änderung des Ortes durch die Änderung der Zeit dividiert.
Schau dir noch einmal den Graphen an und überlege, woran du erkennen kannst, dass Peter nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. Bevor du das Applet benutzt: in welchen Bereichen ist er wohl besonders schnell / besonders langsam gefahren? Überlege vorher!
Ok?
Gut, dann nutzte jetzt das nächste Applet, um abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. Verwende dafür kleinere Steigunsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein!
Über den Knopf Lösung einblenden kannst du deine Lösungen für e) kontrollieren, NACHDEM du selbst gerechnet / gezeichnet hast!
Mit den Pfeilen rechts oben kannst du das Applet immer wieder in den Anfangszustand zurückversetzen, falls du zu viel gezoomt / verschoben hast.
Abb. 2.2 Genauere Untersuchung von Peters Fahrt c) d) e) und f)
Schlussfolgerungen
Du solltest nun erfasst haben:
- Die Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit!
- Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....
- Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung!
- Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...!
- Im Fall von Peter hast du die mittlere Änderungsrate des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit!
- Du hast sie mithilfe des Differenzenquotienten berechnet. Der Name leitet sich aus der Formel her. Es wird der Quotient (=das Ergebnis einer Geteiltaufgabe / eines Bruches) von Differenzen (=Ergebnis einer Minusaufgabe) gebildet!
- je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der Differenzenquotient die tatsächliche Steigung der Funktion!
- Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....!
- Der Differenzenquotient berechnet nur die mittlere Änderungsrate, nicht die exakte / momentane Änderungsrate!
Sprinteraufgabe: Differenzenquotient mithilfe der Funktion alleine
Du benötigst zur Berechnung des Differenzenquotienten nicht unbedingt die Funktion. Natürlich kannst du Punkte auch aus einer Tabelle oder einem Graphen ablesen. Sie lassen sich allerdings auch durch die Funktion berechnen.
Betrachte noch einmal die Formel:
Die y-Werte an den Stellen x1 und x2 lassen sich einfach durch Einsetzen in die Funktion berechnen!
also: y1=f(x1) und y2=f(x2). Damit lässt sich die Formel auch anders als:
Nutze den Taschenrechner, um die exakten Funktionswerte an den ausgesuchten Stellen zu bestimmen! Mach die "Steigungsdreiecke noch kleiner", indem du zwei Stellen wählst, die noch näher beieinander liegen! Zum Beispiel x1=1 und x2=1,0001.
Momentane Änderungsrate rechnerisch
Überprüfe Peters tatsächliche Geschwindigkeit, indem du die Ableitung benutzt (siehe unteres Applet)