Alçada de la Piràmide de Kheops - Tales

El càlcul de l'alçada de la piràmide de Kheops

(Traduït i adaptat de https://www.geogebra.org/m/ZqngBVbD, elaborat per Antonio Comino, fco javier glezortiz) Plutarc relata una història matemàtica sobre Tales de Milet, un dels anomenats "set savis de Grècia". Tales de Milet, en un dels seus viatges a Egipte, es va trobar el jove i inquiet rei d'Egipte mentre visitava la Necròpolis. Aquest, enlluernat per la fama i la saviesa de Tales, li va preguntar si seria capaç de mesurar l'alçada de la majestuosa piràmide de Kheops que s'alçava enfront seu. Era al matí, molt d'hora, i acabava de sortir el Sol per l'horitzó. Se sap que a aquesta hora, les ombres de les persones i els objectes són molt llargues, i que es van escurçant a mesura que avança el dia, fins que passat el migdia solar, tornen a allargar-se. Tales, davant la pregunta del rei, va reflexionar uns instants, i li va dir que no tan sols la calcularia, sinó que fins i tot era capaç de mesurar-la sense cap instrument. Es va estirar a la sorra per marcar la seva alçada al terra, i es va posar dret en un extrem. Com encara era molt d'hora, la seva ombra superava amb molt la llargada de la seva alçada marcada a terra, però a mesura que avancés el dia, aquesta ombra s'aniria escurçant. Tales va explicar al rei que quan la seva ombra mesurés exactament el mateix que la seva alçada, tan sols calia mesurar l'ombra de la piràmide des del centre de la base: l'alçada de la piràmide seria, en aquell moment, també igual d'alta que la longitud de la seva ombra! El rei, desconcertat per la senzillesa de la resposta, dubtava si hi podia haver algun error en el raonament de Tales. Però abans de poder dir res, Tales va afegir encara una manera més ràpida de fer-ho: "si no volem esperar tant de temps, també ho podem fer, amb l'ajuda del meu bastó". I tot seguit, va clavar el bastó a terra, verticalment. Sabem quant fa de llarg el meu bastó, i podem mesurar les passes que fa la seva ombra ara mateix. Si calculem les passes que fa l'ombra de la piràmide en aquest mateix moment, podrem saber, per proporcionalitat, quina és la seva alçada també.

Respon les següents preguntes:

1- Mou la posició del Sol fins que l'ombra del pal sigui tan llarga com la seva alçada. Quina és l'alçada de la piràmide?

2- Ara suposem que ens trobem a primera hora del dia, i per tant l'ombra del pal és més llarga que la seva alçada. Mou el Sol com correspongui, i respon amb les dades que obtens. Com pots deduir l'alçada de la piràmide a partir de les mesures que tens disponibles en aquest cas? Explica raonadament la teva resposta.