Mit Pyramiden zur Kugeloberfläche

Eine Kugel wird mit Drei- und Viereckspyramiden so ausgefüllt, dass sich zwischen den Pyramiden keine Luft mehr befindet und die Grundflächen die Kugeloberfläche berühren. Idee Da sich die Gesamtgrundfläche aller Pyramiden der Kugeloberfläche annähert, kann mithilfe der bekannten Formeln des Pyramiden- und Kugelvolumens die Formel der Kugeloberfläche entwickelt werden.
1. Schritt (Grundfläche von z.B. 144 Pyramiden)
Die Summe G der Grundflächen Gi aller Pyramiden (hier 144) ist näherungsweise gleich der Kugeloberfläche:
2. Schritt (Grundfläche unendlich vieler Pyramiden = Kugeloberfläche)
Wird die Anzahl der Pyramiden immer größer, werden die Grundfläche immer kleiner und die Gesamtgrundfläche G nähert sich immer mehr der gesuchten Kugeloberfläche an. Geht die Anzahl der Pyramiden gegen Unendlich (eine Summe ohne Endsummand), so kann dieser "Grenzwert der Gesamtgrundfläche G" der Kugeloberfläche gleichgesetzt werden:
3. Schritt (Volumen unendlich vieler Pyramiden)
Das Volumen V aller Pyramiden mit jeweiligen Grundfläche Gi und Höhe r kann mithilfe der Gesamtgrundfläche G geschrieben werden:
4. Schritt (Pyramidenvolumen basierend auf Kugeloberfläche)
Für unendlich viele Pyramiden gilt (s. oben) und folglich für das Pyramidenvolumen
5. Schritt (Pyramidenvolumen = Kugelvolumen)
Für unendlich viele Pyramiden ist VP gleich dem bekannten Kugelvolumen . Daraus folgt:
6. Schritt (Formel für die Kugeloberfläche)
Aufgelöst nach der Kugeloberfläche ergibt sich damit: