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Teorema: Circonferenza passante per tre punti

Esiste una e una sola circonferenza passante per tre punti non allineati. Ipotesi: A, B e C sono tre punti non allineati Tesi: Esiste una sola circonferenza passante per A, B e C
Si tratta di una dimostrazione costruttiva; cioè, per dimostrare l'esistenza di una tale circonferenza la costruiamo, forniamo un procedimento per costruirla.
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Dimostrazione: Esistenza

Consideriamo l'asse del segmento AB e l'asse del segmento BC. Dato che i tre punti non sono allineati, i due assi dei segmenti non sono paralleli e quindi, si incontrano in un punto O. OA OB perchè O appartiene all'asse di AB e quindi, deve essere equidistante dai suoi estremi; OB OC perchè O appartiene all'asse di BC e quindi, deve essere equidistante dai suoi estremi. Pertanto, OA OB OC per la proprietà transitiva; cioè, O è equidistante da A, B e C. Prendendo la circonferenza di centro O e raggio OA, abbiamo una circonferenza che non solo passa per A, ma anche per B e C. Abbiamo costruito la circonferenza passante per i tre punti.

Dimostrazione: Unicità

La circonferenza che abbiamo costruito è unica perchè è unico il punto da prendere come centro, l'intersezione degli assi dei due segmenti AB e AC.

Costruzione della crf passante per A, B e C non allineati

Non esistenza della circonferenza passante per tre punti allineati

Non può esistere una circonferenza passante per tre punti allineati A, B e C perchè non esiste il centro, che dovrebbe essere l'intersezione degli assi dei segmenti AB e BC. Dato che i punti A, B e C sono allineati, gli assi di AB e BC sono paralleli e quindi, non intersecandosi, non individuano un punto che possa essere il centro della circonferenza.

Per tre punti A, B, C allineati non passano circonferenze