Dal vettore unitario alla rotazione

Con questa attività vogliamo far emergere, in modo graduale, che

non è solo un numero complesso ma è un particolare operatore.

Grazie alla formula di Eulero abbiamo visto che possiamo leggere

come un numero complesso che si presta a varie interpretazioni :

trigonometrica (legame con e )

rappresenta un numero complesso

, le cui componenti sono: parte reale: cosx parte immaginaria: sinx quindi: è un modo compatto per esprimere insieme le funzioni coseno e seno e

rappresenta solo un punto nel piano complesso.

algebrica o cartesiana

il numero

rappresenta un numero complesso nella forma algebrica

le cui componenti sono numeri reali: parte reale:

parte immaginaria:

In particolare il numero complesso

si vede come un vettore:

con

componente orizzontale = parte reale
componente verticale = parte immaginaria

che è una descrizione cartesiana attraverso coordinate. Il modulo di tale vettore è

, mentre la sua direzione è

N.B. in questo modo il vettore è rappresentato in modo vettoriale (coordinate:ti dicono quanto ci si muove in orizzontale/verticale);

geeometrica (legame con la circonferenza)

Nel piano complesso (piano di Piano di Argand-Gauss):

è un punto sulla circonferenza di raggio 1 che forma un angolo

con l’asse dei numeri reali, quindi è un punto appartenente ad una figura geometrica: la circonferenza unitaria. Quindi, possiamo vedere

come un vettore di lunghezza

e direzione determinata dall’angolo

N.B. in questo modo il vettore è rappresentato in modo polare (modulo+angolo: ti dicono quanto è lungo e in che direzione punta)

Rappresentazione di un numero reale nel piano complesso

Abbiamo anche visto che il piano complesso è un particolare piano cartesiano: sull'asse delle ascisse abbiamo posto i numeri reali sull'asse delle ordinate abbiamo posto la parte immaginaria di un numero complesso (asse immaginario). Con questa premessa, cerchiamo di capire cosa rappresenta nel piano complesso, rispondendo alle seguenti domande:

1) Dove si trova il punto nel piano?

2) Quali sono le sue coordinate?

3) Quanto vale la parte immaginaria?

Il numero reale 1 sul piano complesso

Usa la finestra di geogebra sotto. Prova a mettere il numero z=1 sull'asse dei reali nel piano complesso. Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'icona punto: nella tendina scegli 'Numero complesso' posiziona ora il punto corrispondente a z=1 sull'asse dei reali

Il vettore unitario

Disegna, usando ancora la finestra di geogebra sopra, il vettore corrispondente al numero

. Nella finestra algebra, inserisci:

e guardando il vettore graficato, rispondi alle domande indicate sotto.

1) Nella finestra algebrica come è indicato il punto che hai posizionato corrispondente a z=1?

2) Quanto vale il modulo (la lunghezza) del vettore?

3) Cosa significa “unitario”?

4) Possiamo immaginarlo come punto e/o come un vettore?

Introduzione di e^(i*X)

Con la finestra sottostante di GeoGebra

1.creare slider:

seleziona lo strumento 'Slider' clicca sul piano vista grafico e nella finestra che si apre impostare: Nome: X Tipo: numero (non angolo) variabilità: 0 → 2π [ Min: 0 Max: 6.28 (oppure 2π)] incremento: 0.05 [Velocità animazione: media] IMPORTANTE:

anche se rappresenta un angolo, deve essere espresso in GeoGebra come un numero reale
GeoGebra lavora in radianti di default

2. Inserisci il numero complesso inserire nella vista algebra:

attenzione a questi dettagli:

scrivi i minuscola (unità immaginaria)
usa * per la moltiplicazione
lo slider X deve esistere PRIMA

Cosa si vede

1) Cosa vedi per ogni valore fissato dello slider? 2) che tipo di movimento ha il punto, se attivi lo slider? 3) il movimento del punto, con lo slider attivo, che figura descrive? 4) quanto è la distanza che ha il punto dall'origine del piano complesso, è sempre la stessa o cambia? 5) se ad ogni punto associamo il vettore corrispondente, cosa cambia del vettore quando cambia il valore di in ?

Moltiplicare e^(ix) per z=1

Abbiamo visto che il numero

corrisponde al numero complesso

mentre

può essere pensato come un vettore unitario la cui direzione è individuata da

. Cosa succede al numero

, corrispondente al punto

nel piano complesso, se lo moltiplichiamo per

ricorda la formula di Eulero

quindi

, che corrispondente al vettore unitario

, se sottoposto ad una moltiplicazione per

, diviene un nuovo vettore ancora di modulo unitario e direzione

; perciò:

Nel piano complesso, che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero quando viene moltiplicato per ?

Moltiplicare e^(ix) per z=1 Visualizzazione con geogebra

Usa geogebra sottostante e inserisci nella finestra algebrica le opportune indicazioni (già viste in precedenza o secondo le equivalenti indicazioni date) per rappresentare contemporaneamente: 1) il numero z=1 sull'asse dei reali del piano complesso e il suo vettore corrispondente. Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'icona punto; nella tendina scegli 'Numero complesso' posiziona ora il punto corrispondente a sull'asse dei reali Z=1 (attenzione metti Z come lettera maiuscola, per Geogebra z è una variabile) P=(Z,0) O=(0,0) =Vector(O,P) dovresti vedere:

punto
vettore sull’asse reale

2) la sua trasformazione dopo che è stato moltiplicato per

, cioè il vettore corrispondente al punto

sul cerchio unitario. -creare slider: seleziona lo strumento 'slider' clicca sul piano vista grafico e nella finestra che si apre impostare: Nome: X (non usare la lettera

perchè geogebra associa a tale valore il valore di una variabile) Tipo: numero (non angolo) Variabilità: 0 → 2π [ Min: 0 Max: 6.28 (oppure 2π)] Step: 0.05 [Velocità animazione: media] - rappresenta

: nella barra di input scrivi: A = (cos(X), sin(X)) (questo punto rappresenta proprio

). -Disegna il vettore dall’origine Scrivi: w = Vector((0,0), A) oppure: w= Vector(A) (Otterrai il vettore che parte dall’origine e arriva al punto A) Rispondi sotto alle domande, riferendoti alla rappresentazione fatta nella finestra di geogebra sottostante. 1. Che relazione c'è tra il vettore

di partenza (corrispondente a

) e il vettore

(corrispondente a

)? Confronta i loro moduli e le loro direzioni 2. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero z=1 quando viene moltiplicato per

? (esplicita in modo chiaro le caratteristiche della trasformazione)

Moltiplicare e^(ix) per z=2

Abbiamo visto che il numero

corrisponde al numero complesso (1;0) mentre

può essere pensato come un vettore unitario la cui direzione è individuata da x. Cosa succede al numero

corrispondente al punto (2;0) nel piano complesso se lo moltiplichiamo per

(ricordando la formula di Eulero

quindi

, che corrispondente al vettore

di modulo 2, se sottoposto ad una moltiplicazione per

, diviene un nuovo vettore, non più di modulo unitario, ma di modulo 2 (

) e direzione

; perciò:

Moltiplicare e^(ix) per z=2 Visualizzazione con geogebra

Usa geogebra sottostante e inserisci nella finestra algebrica le opportune indicazioni (già viste in precedenza o secondo le equivalenti indicazioni date) per rappresentare contemporaneamente: 1) il numero z=2 sull'asse dei reali del piano complesso e il suo vettore corrispondente. Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'icona punto; nella tendina scegli 'Numero complesso' posiziona ora il punto corrispondente a sull'asse dei reali Z=2 (attenzione metti Z come lettera maiuscola, per Geogebra z è una variabile) P'=(Z,0) O=(0,0) =Vector(O,P') dovresti vedere:

punto
vettore sull’asse reale

2) la sua trasformazione dopo che è stato moltiplicato per

, cioè il vettore corrispondente al punto

sul cerchio di raggio 2. -creare slider: seleziona lo strumento 'slider' clicca sul piano vista grafico e nella finestra che si apre impostare: Nome: X (non usare la lettera

: nella barra di input scrivi: A' = (2cos(X), 2sin(X)) (questo punto rappresenta proprio

). -Disegna il vettore dall’origine Scrivi: w' = Vector((0,0), A') oppure: w= Vector(A') (Otterrai il vettore che parte dall’origine e arriva al punto A') Rispondi sotto alle domande, riferendoti alla rappresentazione fatta nella finestra di geogebra sottostante. 1. Che relazione c'è tra il vettore

di partenza (corrispondente a

) e il vettore

(corrispondente a

)? Confronta i loro moduli e le loro direzioni 2. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero z=2 quando viene moltiplicato per

? (esplicita in modo chiaro le caratteristiche della trasformazione) 3. Confronta i due casi, qui riassunti, ottenuti moltiplicando il numero

per

la moltiplicazione per

come agisce sul vettore di partenza?

Domande ulteriori Il numero preso in considerazione z=2 è numero con la parte immaginaria pari a....

Attiva lo slider nella finestra geogebra sopra; che forma ha il moto del punto A' (corrispondente al vettore )?
Il raggio della circonferenza è cambiato rispetto al moto del punto A?
Quanto vale il nuovo modulo?

4. Cosa fa il numero 2 al vettore

(specificare se il vettore

, rispetto al vettore

, rimane lo stesso, oppure si dilata di..., oppure si contrae di ...

Rendiamo dinamica la rappresentazione con GeoGebra

Nella finestra geogebra sottostante crea una rappresentazione dinamica della situazione: al variare del punto P che rappresenta

sull'asse dei reali, (dovrai perciò inserire uno slider) possa variare di conseguenza

( legare il punto corrispondente a

, alle coordinate del punto trasformato dalla sua moltiplicazione con l'operatore

cioè

si trasforma in

. (Dovresti essere in grado di mettere i comandi di geogebra necessari alla rappresentazione richiesta).

Generalizzazione: moltiplicare e^(ix) per z = a + ib

Moltiplichiamo ora

per un numero complesso generico del tipo

. Un numero di questo tipo cosa rappresenta sul piano complesso? qual è il suo modulo

? qual è la sua direzione

? Come abbiamo visto precedentemente, per il numero z=1 e z=2, eseguiamo tutti i passaggi algebrici per capire come si trasforma

(che può essere visto come

) quando viene moltiplicato per

(avendo ricordato la formula di Eulero

); svolgi i calcoli sul tuo quaderno e confronta il risultato con qui riportato:

Come vedi il numero complesso

dopo la moltiplicazione per l'operatore

diviene un nuovo numero complesso:

. 1) Scrivi sotto la parte reale e poi la parte immaginaria di questo vettore che è la trasformazione del vettore

causata dal fattore moltiplicativo

Determinazione algebrica di (a+ib)e^(ix)

Sintesi concettuale

“Se moltiplico un numero complesso per , cosa sto facendo geometricamente?”

Conclusioni

Finora, hai visto come agisce quando viene applicato ad un numero complesso ; 1) riassumi che caratteristiche ha questo operatore? 2) cosa cambia dopo che l'operatore agisce su un numero complesso (rispetto alle sue caratteristiche: modulo e direzione)?