SUCESIONES CUADRÁTICAS
OBJETIVO:
- Manejar la notación propia de una sucesión.
- Obtener términos particulares de una sucesión a partir de la fórmula explícita del término general y obtener una fórmula general a partir de unos términos particulares en casos sencillos.
- Simplificar correctamente la expresión del término general de una sucesión.
INTRODUCCIÓN
Una sucesión es una correspondencia en la que cada número natural se le asigna un número real. Es decir, para cada posición hay un término de la sucesión.
En algunas sucesiones, cuando se calculan las diferencias entre los términos, ésta no es una constante, pero si volvemos a calcular las diferencias de esas primeras diferencias se obtiene un mismo resultado. Cuando esto sucede, se dice que la sucesión es de 2° grado o cuadrática y su regla tiene la forma:
Para ilustrar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:Tenemos la sucesión 2, 6, 12, 20, 30 si calculamos las primeras diferencias obtenemos:6-2 = 4 ; 12 -6= 6 ; 20-12=8; 30-20=10 sus diferencias no son constantes, es decir no se repite la misma cantidad en todas sus diferencias, entonces este seria el primer nivel.Para el segundo nivel volvemos hacer las diferencias ahora del primer nivel: 4 , 6, 8, 10 obteniendo: 6-4=2; 8 -6=2; 10-8= 2 . Ahora si hay una constante que es 2. Por lo tanto la sucesión es cuadrática.
Si queremos encontrar su regla utilizamos el siguiente procedimiento:
PASO 1: Calculamos las diferencias del 1er. nivel y del 2° nivel, para nuestro ejemplo ya las tenemos.
PASO 2: Utilizamos la expresión 2a para calcular el valor de a, esta expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo nivel de diferencias.
resolvemos la ecuacióna= 2/2a= 1
PASO 3: Utilizamos la expresión 3a + b para calcular el valor de b y sustituimos el valor obtenido para a. Esta expresión se iguala con el 1er, término del primer nivel de diferencias.
sustituimos a=1(3)(1) + b = 4multiplicamos3 + b = 4despejamos bb= 4 -3b= 1
PASO 4: Utilizamos la expresión a +b+ c para calcular el valor de c y sustituimos los valores obtenidos para a y b. Esta expresión se iguala con el 1er, término de la sucesión.a +b + c = 2sustituimos a=1 ; b=1 y despejamos c1 + 1 +c = 22 + c = 2c= 2 – 2c= 0
PASO 4:Sustituimos los valores encontrados para a, b y c en la fórmula de la regla.
esta es la regla para la sucesión.
PASO 5: Comprobamos la regla para los dos primeros términos.
Para ilustrar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:Tenemos la sucesión 2, 6, 12, 20, 30 si calculamos las primeras diferencias obtenemos:6-2 = 4 ; 12 -6= 6 ; 20-12=8; 30-20=10 sus diferencias no son constantes, es decir no se repite la misma cantidad en todas sus diferencias, entonces este seria el primer nivel.Para el segundo nivel volvemos hacer las diferencias ahora del primer nivel: 4 , 6, 8, 10 obteniendo: 6-4=2; 8 -6=2; 10-8= 2 . Ahora si hay una constante que es 2. Por lo tanto la sucesión es cuadrática.
Si queremos encontrar su regla utilizamos el siguiente procedimiento:
PASO 1: Calculamos las diferencias del 1er. nivel y del 2° nivel, para nuestro ejemplo ya las tenemos.
PASO 2: Utilizamos la expresión 2a para calcular el valor de a, esta expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo nivel de diferencias.resolvemos la ecuacióna= 2/2a= 1
PASO 3: Utilizamos la expresión 3a + b para calcular el valor de b y sustituimos el valor obtenido para a. Esta expresión se iguala con el 1er, término del primer nivel de diferencias.sustituimos a=1(3)(1) + b = 4multiplicamos3 + b = 4despejamos bb= 4 -3b= 1
PASO 4: Utilizamos la expresión a +b+ c para calcular el valor de c y sustituimos los valores obtenidos para a y b. Esta expresión se iguala con el 1er, término de la sucesión.a +b + c = 2sustituimos a=1 ; b=1 y despejamos c1 + 1 +c = 22 + c = 2c= 2 – 2c= 0
PASO 4:Sustituimos los valores encontrados para a, b y c en la fórmula de la regla.esta es la regla para la sucesión.
PASO 5: Comprobamos la regla para los dos primeros términos.
EXPLORA
EJERCITA TUS HABILIADES
DETERMINA LA PRIMERA Y SEGUNDA DIFERENCIA ENTRE LOS TÉRMINOS DE LAS SIGUEINTES SUCESIONES.
a) 5, 19, 41,71,109...
b) 1,6,17,34,57...
c) -5,-4,-5,-8,-13
CONOCE
RESUELVE Y APRENDE
CALCULA LOS PRIMEROS CUATRO TÉRMINOS DE LAS SIGUIENTES SUCESIONES.
a)
b)
c)
TE RETO:
En una sala hay mesas de diferentes tamaños. En la primera mesa hay una sola persona, en la segunda hay 2, en la tercera 3 y así sucesivamente. Cada persona saluda una sola vez a cada integrante de su mesa. Construye la sucesión en la que los términos corresponden al número de saludos en la primera mesa, en la segunda mesa, en la tercera mesa, etc. ¿Cuál es el término general para la sucesión?