Ellisse Formula dello sdoppiamento
Formula dello Sdoppiamento
sia E_1 : x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (1)
P=(x_0,y_0)∈E_1 ⇔ x_0^2/a^2 + y_0^2/b^2 = 1 (2)
P∈t : y-y_0 = m*(x-x_0) (3)
dalla (1) - (2) ⇔ (x^2-x_0^2)/a^2 + (y^2-y_0^2)/b^2 = 0 ⇔
⇔ (x-x_0)(x+x_0)/a^2 + (y-y_0)(y+y_0)/b^2 = 0
dalla (3) ⇒ (x-x_0)(x+x_0)/a^2 + m*(x-x_0)(y+y_0)/b^2 = 0 mettendo in evidenza (x-x_0) ⇒
⇒ (x-x_0) {x+x_0/a^2 + m*(y+y_0)/b^2} = 0 segue
x-x_0 = 0 ⇒ x = x_0
{x+x_0/a^2 + m*(y+y_0)/b^2} = 0 P=(x_0,y_0)∈t ⇒ {x_0+x_0/a^2 + m*(y_0+y_0)/b^2} = 0 ⇒ 2x_0/a^2 + m* 2y_0/b^2 = 0
si ha m = - 2x_0/a^2 *b^2/2y_0 semplificando abbiamo
m = - b^2/a^2 * x_0/y_0 quindi
t: y-y_0 = m* (x-x_0) ⇒ y-y_0 = - b^2/a^2 * x_0/y_0* (x-x_0) ⇒ a^2*y_0*y - a^2*y_0^2 = -b^2*x_0*x + b^2*x_0^2 ⇒
⇒ a^2*y_0*y + b^2*x_0*x = b^2*x_0^2 + a^2*y_0^2 dividendo tutto per a^2*b^2 si ha
⇔ x_0*x/a^2 + y_0*y/b^2 = x_0^2/a^2 + y_0^2/b^2 ma per la (2) si ha
infine : x_0*x/a^2 + y_0*y/b^2 =1