Voorbeeld + opgaven 42,43 en 44
Voorbeeld: hoe je een algemeen functievoorschrift wordt opgesteld voor de afgeleide functie en hoe je dit kunt gebruiken om de helling in een punt te berekenen en de raaklijn in dat punt aan de grafiek op te stellen
Gegeven is de functie f(x) = 3x2 + 4. Stel zonder hulp van de grafische rekenmachine een voorschrift op voor de afgeleide van deze functie. Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x = 3.
Het differentiequotiënt van f voor willekeurige x op het interval [x, x+h] is gelijk aan
Als h naar 0 nadert krijg je de afgeleide: f'(x) = 6x.
Wil je nu de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van f voor x = 3 dan heb je het hellingsgetal nodig voor die waarde van x. De afgeleide is het hellingsgetal van de grafiek van f voor willekeurige x, dus het hellingsgetal van de raaklijn voor x = 3 is: f'(3) = 6⋅3 = 18
f'(x) = 18x + b
f(3) = 31, dus 31 = 18⋅3 + b en hieruit volgt b = −23.
De formule van de raaklijn is: y = 18x − 23
Opgave 42
Gegeven is de functie f(x) = -x2 + 10.
a. Stel een voorschrift op voor de afgeleide van f.
b. Stel de formule op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x = 4.
Opgave 43
Een constante functie heeft als voorschrift f(x) = c.
Toon aan dat de afgeleide van een constante functie altijd de waarde 0 heeft.
Opgave 44
Gegeven is de functie f(x) = 4−0,25x2.
a. Met behulp van het differentiequotiënt op [x, x+h] kun je de afgeleide van de functie f(x) bepalen. Stel de formule van de afgeleide functie op. Laat duidelijk zien hoe je er aan komt.
b. De lijn met vergelijking y = -2x + 8 lijkt de grafiek te raken. Laat zien dat dit inderdaad het geval is.