327 Die Flugbahn eines Fußballs
Ein Fußball wird mit einer bestimmten Geschwindigkeit und unter einem bestimmten Winkel abgeschossen. Die Abbildung zeigt zwei Flugbahnen. Die graue Kurve veranschaulicht den idealisierten Fall, bei dem der Luftwiderstand vernachlässigt wird. In diesem Fall würde die Flugbahn die Form einer Parabel aufweisen, wobei der Ball nach 40 m horizontaler Weite die größte Höhe von 20 m erreicht.
Die rote Kurve veranschaulicht hingegen den Fall, bei dem der Luftwiederstand berücksichtigt wird. In diesem Fall fliegt der getretene Ball deutlich weniger weit und die Flugkurve ist stark asymmetrisch. Es handelt sich um eine so genannte „ballistische Kurve“, bei der der Ball – nachdem er die maximale Höhe
erreicht hat – in der zweiten Flugphase nicht mehr so weit kommt wie in der ersten.
a) Betrachte den idealisierten Fall ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes. Die Flugbahn nimmt hier die Form einer Parabel an, kann also als Graph einer Funktion zweiten Grades aufgefasst werden.
Bestimme die Gleichung dieser Funktion sowie den Abschusswinkel 0.
b) Für den Fall, dass der Luftwiderstand berücksichtigt wird, werden drei Polynomfunktionen für die Modellierung einer Flugbahn vorgeschlagen. Gib an, welche der drei sich für eine angemessene Modellierung am besten eignet.
Begründe Deine Wahl stichhaltig, gib insbesondere für die beiden auszuschließenden Funktionen je einen Grund an, der ohne auf eine Rechnung zurückzugreifen als Ausschließungsgrund angeführt werden kann. Berechne anschließend die Flugweite des Balls gemäß gewählter Modellfunktion sowie den Abschusswinkel 0.
c) Bestimmte Annahmen hinsichtlich Abschussgeschwindigkeit, Abschusswinkel und Masse des Fußballs voraussetzend, kann die Flugbahn des Balls unter Berücksichtigung des Luftwiderstands durch die Funktion g beschrieben werden. Der Ermittlung der Funktionsgleichung wird ein Luftwiderstand FL („Stokes-Reibung“) zugrunde gelegt, der direkt proportional der Geschwindigkeit v des Fußballs ist. Der in der Gleichung von g vorkommende Parameter b entspricht dem Proportionalitätsfaktor der Abhängigkeit FL(v).
Beschreibe den Zusammenhang zwischen Luftwiderstand FL und Geschwindigkeit v mit Hilfe einer Gleichung. Der Wert des Parameters b hängt direkt mit der Beschaffenheit der Oberfläche des Fußballs zusammen. Setze b=0,14 und vergleiche die Graphen von g und der in b) gewählten Modellfunktion. Erläutere, ob eine Vergrößerung oder Verkleinerung von b eine bessere Übereinstimmung der beiden Graphen bewirkt. Arbeite dazu mit einem Schieberegler für b.