Orbita di Marte con GeoGebra
Orbita di Marte
autore Giuseppe Lamartina
i.lamartina@inwind.it
Partendo dai dati sperimentali, riportati nel Foglio di calcolo, ricavare l’orbita approssimata del pianeta
Servendosi di GeoGebra trovare:
Equazione approssimata dell'orbita
i fuochi, gli assi, i vertici dell'orbita
l'eccentricità
perielio
afelio
ruotare l'ellisse attorno il suo centro per rendere i suoi assi paralleli agli assi coordinati
Si trova per Marte il valore approssimativo dell’eccentricità di 0,086 (valore accettato 0,0934)
Mentre per la Terra si ottiene un valore di 0,0162 che si può confrontare con il valore accettato di
0,0167.
Per ottenere i dati sperimentali delle coordinate dei pianeti ho utilizzato il sito Internet francese IMCCE Éphémérides de position L’Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides.
Si scrive un modulo di richiesta dei dati delle orbite e viene messo a disposizione un file di testo che si può memorizzare nel proprio elaboratore contenente i dati astronomici desiderati. Gratuitamente e senza registrazione.
Questi dati sono riportati nel Foglio di calcolo di GeoGebra per consentire di trovare una approssimazione dell'orbita di Marte.
Con GeoGebra, l'utilissimo programma per studiare meglio la matematica e la fisica, è possibile utilizzare l'ambiente Foglio di calcolo per elaborare dati sperimentali.
Il Foglio di calcolo di GeoGebra è molto simile ai classici fogli elettronici. L'integrazione con l'ambiente grafico però è più evoluta. GeoGebra si presta in modo prodigioso all'elaborazione matematica.
Dal Manuale di GeoGebra: Con GeoGebra è possibile:
Importare file di dati da altre applicazioni
È possibile importare dati da altre applicazioni, se sono in formato .txt, .csv e .dat:
basta fare clic con il tasto destro del mouse in una cella vuota della vista Foglio di calcolo, quindi scegliere l'opzione Importa file di dati... nel menu contestuale visualizzato.
Note: GeoGebra utilizza il punto . come separatore decimale, e la virgola , come separatore di campo: verificare prima dell'importazione se il file contenente i dati rispetta queste impostazioni.
Per risolvere il problema si può utilizzare ad esempio Bluefish con il "cerca e sostituisci".
Dopo aver importato il file di testo dei dati astronomici, si selezionano le due colonne adiacenti che riportano la x e la y di Marte calcolate ogni giorno per l'intero anno Marziano (687 giorni), si copiano e si incollano in due altre colonne del Foglio.
Oppure clic a destra del mouse si può creare una Lista di punti che viene rappresentata nel grafico. Data l'enorme quantità di punti sarà necessario non visualizzare l'etichetta di tutti i punti. (Visualizza Etichettatura Nessun nuovo oggetto).
Per trovare l'equazione dell'orbita marziana si può utilizzare Conica per 5 punti dal menù principale di GeoGebra.
GeoGebra trova l'equazione dell'ellisse dell'orbita dopo aver scelto 5 punti facendo clic in cinque punti diversi casualmente presi nel grafico dell'orbita.
Ovviamente il grafico sperimentale con le misure astronomiche, e quello della conica ellisse si sovrappongono perfettamente.
Da notare nell'equazione della ellisse la presenza di un termine misto xy dovuto ad una rotazione dell'ellisse che non ha gli assi perfettamente paralleli agli assi coordinati.
GeoGebra possiede un ricco patrimonio di comandi sulle coniche.
Si può utilizzare il comando Eccentricità(nome conica)per ottenere 0.0875 (valore accettato 0.0934).
Ancora i comandi Assemaggiore e Asseminore per avere le equazioni dei due assi.
Si può utilizzare Intersezione per trovare i punti vertici dell'ellisse trovando l'intersezione fra le equazioni dei due assi e la conica.
Scrivendo Fuoco(nome conica) si ottengono i fuochi della ellisse (In uno dei due fuochi si trova il Sole. Si può trovare il centro dell'ellisse, la lunghezza i semiassi e le distanze dette perielio (più vicina al Sole) e afelio (più lontana) con buona approssimazione.
Ad esempio ho ottenuto per la distanza al perielio 1,390 Au (da Wikipedia 1,381 Au) e all'afelio 1,656 Au (da Wikipedia 1,666 Au).
Trovato il centro dell'ellisse e l'angolo formato dall'asse maggiore e dall'asse x, si può chiedere di ruotare la conica attorno il centro dell'angolo in questione.
L'equazione dell'ellisse si semplifica moltissimo dato che scompare il termine misto xy.
Questa orbita è interessante perchè Marte possiede una eccentricità maggiore rispetto agli altri pianeti del sistema solare escluso Mercurio e Plutone.
Nel diciasettesimo secolo, il grande Keplero cercava di dimostrare la validità del sistema eliocentrico e la caratteristica ellissoidale delle orbite dei pianeti.
Fortunatamente egli cominciò a calcolare l'orbita di Marte dotata di una maggiore eccentricità, di cui era più facile dimostrare la sua natura ellittica superando le orbite considerate fino ad allora perfettamente circolari.