Gli asintoti obliqui
Quando una funzione imita l'andamento di un'altra funzione senza mai sovrapporsi ad essa, si parla di andamento asintotico. Tipicamente, la funzione di riferimento a cui la funzione iniziale si "avvicina" è una retta.
In precedenza abbiamo avuto occasione di parlare di una caratteristica di questo tipo parlando della funzione esponenziale; un altro caso piuttosto comune è quello dell'iperbole.
Studiando i limiti si vede come i limiti che coinvolgono in qualche modo il simbolo di infinito sono legati spesso a degli asintoti orizzontali o verticali. In questo capitolo ci concentriamo invece su un altro tipo di asintoto, quello obliquo.
Riassumiamo quindi la procedura per verificare la presenza di un eventuale asintoto obliquo
1) Calcolo il limite quando (oppure )
Alcune considerazioni:
- ha senso farlo se il dominio della funzione me lo consente, cioè se in quella parte del piano la funzione effettivamente esiste e mi dà dei risultati.
- faccio questi due limiti perché sono le uniche due "zone" del piano in cui posso pensare che la funzione si "allinei" ad una retta obliqua.
![Se il limite dà un risultato finito, significa che la funzione "si allinea" su un certo valore [math]y[/math] e quindi avendo un asintoto orizzontale non possiamo averne uno obliquo.
Se invece il risultato è [math]\pm \infty[/math] [i]potremmo[/i] avere un asintoto obliquo, ma sono necessarie ulteriori verifiche.](https://stage.geogebra.org/resource/qhwkzgju/DFn0ios3bo5tQGsl/material-qhwkzgju.png)
nel caso ottenga quindi proseguo
2) Confronto gli ordini dei due infiniti: (oppure )
Sia la funzione che una retta sono infiniti quando : dobbiamo vedere se vanno all'infinito allo stesso modo.
Dobbiamo cioè confrontare cioè la "velocità" con cui la aumenta nella funzione e quella con cui aumenta in una retta generica (che va come ). Per fare questo considero il rapporto , che di fatto è un conflitto tra infiniti e quindi gestisco come tale.
![L'esito del confronto tra i due infiniti ci permette di capire se la funzione [math]\textcolor{red}{f(x)}[/math] cresce come una generica retta, cioè come la potenza prima di [math]\textcolor{blue}{x}[/math], oppure no.](https://stage.geogebra.org/resource/eh5wsva3/AlYNZqqO82NOtMnG/material-eh5wsva3.png)
Se otteniamo un numero finito (cioè non infinito) la funzione cresce come una retta, in particolare come una retta il cui coefficiente angolare vale proprio . Infatti se rifaccio il calcolo usando questa retta:
cioè i due infiniti fanno ESATTAMENTE alla stessa velocità.
In questo caso proseguo per capire se è necessario "alzare" o "abbassare" la retta
3) Studio come si comporta all'infinito la differenza tra il risultato generato dalla funzione e quello della retta:
(cioè la distanza tra le due misurata in verticale, cioè lungo le )
![Considero cosa succede nella zona del piano che mi interessa, cioè quando [math]\textcolor{red}{x\to +\infty}[/math].
[color=#38761d][b]La funzione[/b][/color] e [b]la retta[/b] diventano sempre più parallele (crescono alla stessa velocità) quindi la loro distanza ([color=#9900ff][b]cioè la differenza Q[/b][/color] tra i rispettivi risultati) quando [math]\textcolor{red}{x\to +\infty}[/math] diventa costante.
Se questo valore costante non è infinito possiamo "correggere" la retta in modo che la funzione vi si avvicini sempre di più.
In questo caso il risultato della [b][color=#38761d]funzione[/color][/b] è maggiore di quello della[b] retta[/b] (quindi la funzione "sta sopra"). Possiamo quindi correggere la [b]retta[/b] "alzandola" (e quindi aumentandola) proprio di [b][color=#9900ff]Q[/color][/b]: la sua equazione sarà quindi
[math]y=\textcolor{#007700}{N}x+\textcolor{#9900ff}{Q}[/math].](https://stage.geogebra.org/resource/cr5faasq/LmakX5LUm3aOJ0ST/material-cr5faasq.png)
Se il risultato del limite è zero, significa che per il risultato della funzione diventa sempre più simile a quello della retta, che quindi è effettivamente un asintoto.
Se il risultato è un numero finito positivo, ad esempio , vuol dire che il risultato della funzione all'infinito è costantemente unità più alto di quello della retta. Perché questa sia un asintoto deve quindi essere "alzata" di unità, e lo facciamo aggiungendo un corrispondente termine noto. L'asintoto corretto ha quindi equazione .
Se il risultato del limite è negativo vale l'identico discorso, solo che la funzione è "sotto" alla retta e quest'ultima deve essere "abbassata".
In generale se il limite risulta un numero finito la retta deve essere quindi corretta proprio di unità verso l'alto o verso il basso, quindi la funzione ha un asintoto obliquo di equazione
Se il risultato del limite è , significa che la differenza tra funzione e retta non può essere compensata, e quindi NON c'è asintoto.