Hexágonos en una malla hexagonal
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema:
- Combinatoria, Geometría
Dada una malla hexagonal regular de n puntos de lado, ¿cuántos hexágonos regulares pueden formarse con sus vértices en ella y con cualquier orientación?
Cada posible hexágono en la malla está inscrito en un hexágono 'marco' de igual orientación que la malla y con k puntos en cada lado, 2 ≤ k ≤ n.
¿Cuántos de estos marcos de lado k hay? Estudiando las posiciones que puede tomar su centro, vemos que se trata del número hexagonal centrado n-k+1, HCn-k+1=1 + 3(n-k+1)(n-k).
En cada uno de estos marcos pueden inscribirse k-1 hexágonos, incluido el mismo (los demás girados).
Entonces, el número total de hexágonos que pueden inscribir en la malla de n puntos de lado es la suma de los productos del número de marcos de lado k por (k-1). Resulta ser simplemente Tn-1², el cuadrado de la suma de los números naturales de 1 a n-1.
La sucesión está en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences con el número A000537. A destacar el 10º comentario .... ";^)