y=sinx approssimazione della funzione seno con un polinomio (definitivo)
Approssimazione intorno a zero della funzione seno
Vogliamo approssimare con un polinomio, in un intorno di , la funzione .
Ripassiamo le proprietà della funzione
- La funzione y=sinx ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme
- E' una funzione periodica di periodo
- La funzione è una funzione dispari
Grafico della funzione y=sinx
Simmetria della funzione seno
La funzione y=sinx è una funzione dispari. Giustifica la risposta da un punto di vista analitico e grafico.
Quanto vale y=sinx in x=0? Scrivi in modo formale la risposta
Determinazione del polinomio approssimante
- Approssimiamo la funzione con un polinomio di primo grado , primo polinomio di grado dispari. Un polinomio di grado 1° è semplicemente una retta: ovvero . Siccome il polinomio deve passare per l'origine, perchè sin(0)=0, abbiamo , quindi e la retta passa per l'origine
- una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra
- una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo
Usiamo Geogebra per capire con quale polinomio di primo grado approssimare la funzione seno
Usa geogebra:
1. inserire la funzione seno,
2. inserisci il polinomio
3. Si crea automaticamente uno slider
Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di m, fai dei tentativi, variando il valore dello slider. Ricordati che puoi animare lo slider, regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione tra la funzione e il polinomio. Se necessario, modifica nelle impostazioni dello slider, il valore minimo e il valore massimo.
valutazione "intuitiva" per determinare il polinomio approssimante di 1°grado
Considerazioni che si possono fare su m:
Qual è il polinomio di grado uno, che meglio approssima la funzione seno in x=0? Rispondi alle seguenti domande: 1. Qual è il segno di m? 2. Quale valore di m ti sembra possa essere adeguato per una buona approssimazione? 3. Ti sembra che il polinomio trovato sia una retta particolare del piano cartesiano? 4. Che valore può avere m??
Visualizzazione della qualità dell'approssimazione
Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di . Infatti, fissa un valore di, a tale valore corrisponderà un punto S sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La distanza SP tra le ordinate di tali punti (|) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza CP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo.
Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza SP , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicina a 0.
Valutazione dell'approssimazione fatta con il polinomio di primo grado
Usa il foglio elettronico di Geogebra per valutare quanto sia buona l'approssimazione con un polinomio di primo grado.
Il polinomio di 1° grado determinato è una retta passnte per l'origine. Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di x=0. Infatti fissa un valore di x, a tale valore corrisponderà un punto S sulla funzione seno e un punto P sulla retta approssimante. La distanza SP tra le ordinate di tali punti, può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza tra le due curve è piccola, più è buona l'approssimazione.
Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. Nella finestra grafica, invece, sposta il punto R (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza RS , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di R si avvicini a 0.
Usando geogebra costruisci, la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione e il polinomio approssimante al variare delle prese in un intorno di .
N.B. devi:
- traccia la funzione seno ;
- traccia la funzione polinomiale ;
- traccia la retta ;
- si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le scelte;
- visualizzare, con il comando intersezione, i punti R e S che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla scelta;
- visualizzare il segmento RS che rappresenta la distanza tra tali punti;
- visualizzare il valore numerico di tale distanza usando il comando di Geogebra, .
E' assolutamente necessario migliorare l'approssimazione
Aggiungiamo un altro termine al polinomio di primo grado per migliorare l'approssimazione
Dato che la funzione y= sinx è dispari, il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 3° grado. Aggiungiamo al polinomio di grado 1 , un termine di terzo grado, .
Chiamiamo il polinomio approssimante :
Per determinare il valore del coefficiente del termine di 3° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:
Per determinare il valore del coefficiente del termine di 3° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:
- Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra
- Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo
- inserisci la funzione seno y=sinx;
- inserisci il polinomio
- si crea automaticamente uno slider b
Segno del coefficiente di terzo grado
Tenedo conto della concavità della funzione di y =sinx intorno a x=0, che segno dovrebbe avere il termine aggiuntivo di terzo grado del polinomio?
Valutazione algebrica del coefficiente del termine di terzo grado
Per determinare il coefficiente del polinomio di terzo grado, seguiremo un ragionamento molto semplice :
- Prendiamo un valore abbastanza vicino allo zero, per esempio x=0,2
- calcoliamo il seno di 0,2 ,
- calcoliamo il valore del Polinomio di terzo grado in x=0,2
- ricaviamo b risolvendo la seguente equazione :
Calcolo di b
Calcola b seguendo le istruzioni precedenti
Verifica del valore trovato
Il valore di b trovato è approssimativamente
Polinomio approssimante la funzione y=sinx
A questo punto, ti suggerisco la formula del polinomio approssimante la funzione y= sin x in un intorno di x=0
Sviluppando questa sommatoria, potrai renderti conto che:
Sviluppando questa sommatoria, potrai renderti conto che:
- per k=0, si ottiene x,
- per k=1, si ottiene
- per k=2, si ottiene
Scriviamo i primi 10 termini del polinomio che approssima la funzione y=sinx
Applicando la formula suggerita , sviluppa il polinomio approssimante la funzione y= sinx fino al 10 termine.
Visuaizziamo la funzione seno e il polinomio approssimante costituito da 10 termini
Per velocizzare l'inserimento del polinomio approssimante in Geogebra usa il comando Somma, , che permette di sommare espressioni, serie e liste di dati specificando l'espressione, la variabile, il valore iniziale e quello finale.
Comando principale:
Somma(, , , ), ove per l' espressione, utilizzi la formula data precedentemente, come variabile , k, che varia da 0 a 9.
Migliorare l'approssimazione, aumentando i termini del polinomio
Usando Geogebra , se inserisci un valore più grande di 9 come estremo superiore nella sommatoria, puoi osservare quanto l'approssimazione sia migliore! il mpolinomio si sovrappone alla funzione y= sin anche Possiamo fare ancora meglio: definisci un nuovo slider intero che va da 1 a 100, e ponilo come estremo superiore della sommatoria. Ti accorgerai di quanto questo polinomio , costituito da 101 monomi , approssimi bene la funzione seno!!
CONCLUSIONE:
lo sviluppo della funzione seno come funzione polinomiale è dato da :