Kreise auf Quadriken 1
- Autor:
- Walter Füchte
23. Juni 2020 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene
Diese und die folgenden Seiten sollten eigentlich den Titel "Kreise auf Mittelpunktsquadriken" erhalten, jedoch erschien uns der Titel zu lang! In der vorliegenden Aktivität werden Kreise auf Ellipsoiden und auf einschaligen Hyperboloiden angezeigt. Die nächsten Seiten sollen Kreise auf 2-schaligen Hyperboloiden und auf Paraboloiden behandeln. Hauptthema: Kreise auf DARBOUX Cycliden Möbiusgeometrisch sind Quadriken spezielle DARBOUX Cycliden, nämlich solche, für die ein mindestens doppelt-zählender Brennpunkt ist. DARBOUX Cycliden sind das räumliche Pendant von bizirkularen Quartiken: zur Gleichung dieser Flächen siehe Blaschke's Frage und Darboux Cycliden Die Schnitte einer DARBOUX Cyclide mit Kugeln - oder Ebenen, sind bizirkulare Quartiken. Andererseits kann man jede bizirkulare Quartik als Schnitt einer Quadrik mit einer Kugel charakterisieren! Wie findet man Kreise auf Quadriken - oder allgemeiner - auf DARBOUX Cycliden? Folgende Aussage hilft bei der Suche: eine Kugel, welche eine DARBOUX Cyclide doppelt - also in 2 Punkten - berührt, schneidet die Cyclide in einem oder in 2 Kreisen! - Diese Kreise können imaginär sein: die doppeltberührende Kugel liegt - vom Berührpunkt abgesehen, ganz im Inneren, bzw. ganz im Äußeren der Cyclide. - Die Kugel berührt längs des Kreises: dies ist zB. bei rotationssymmetrischen Quadriken, oder beim Torus der Fall. - Ebenen als doppelt berührende Kugeln können in 2 Geraden schneiden: wie sie sich zB. als Erzeugende bei einschaligen Hyperboloiden finden lassen! Die doppelt-berührenden Ebenen des Torus schneiden diesen in den VILLARCEAU-Kreisen! Eine Symmetriekugel oder Symmetrie-Ebene einer DARBOUX Cyclide schneidet diese natürlich auch in einer bizirkularen Quartik. Im Kapitel Hermite Abbildungen und bizirkulare Quartiken dieses books haben wir uns ausführlich mit den doppelt-berührenden Kreisen von bizirkularen Quartiken beschäftigt. Konstruieren lassen sie sich einfach mit Hilfe der Brennpunkte und der Leitkreise bzw. Leitgeraden. Zu einem solchen doppelt-berührenden Kreis gehört bezüglich der Symmetriekugel eine ebenfalls symmetrisch liegende doppelt-berührende Kugel, welche die Cyclide in einem oder 2 reellen Kreisen schneiden kann! Für die Quadrik oben konstruieren wir auf den Symmetrieebenen die doppelt-berührenden Kreise und dazu die doppelt berührenden Kugeln.Die Gleichung der Quadrik: mit . Für ergibt sich ein Hyperboloid.
Die Konstruktion der Quadrik-Kreise mittels der Leitgeraden wird nur für durchgeführt.
Die Schnitte mit den Koordinatenebenen sind Ellipsen und /oder Hyperbeln (für ).
Die meisten doppelt-berührenden Kugeln liegen außerhalb oder innerhalb der Quadrik, von den Berührpunkten abgesehen!
Leider unterstützt ge
gebra den Schnitt zweier Quadriken nicht direkt.
Siehe zu den Schnittkurven auch die vorangegangenen Seiten.
Die Anzeige der Höhenlinien geschieht mit Blick auf DARBOUX Cycliden, für welche wir (noch?) keine Parameter-Darstellung kennen, und die sich nicht implizit anzeigen lassen! Siehe die Seiten Kreise auf Darboux Cycliden und folgende.
gebra den Schnitt zweier Quadriken nicht direkt.
Siehe zu den Schnittkurven auch die vorangegangenen Seiten.
Die Anzeige der Höhenlinien geschieht mit Blick auf DARBOUX Cycliden, für welche wir (noch?) keine Parameter-Darstellung kennen, und die sich nicht implizit anzeigen lassen! Siehe die Seiten Kreise auf Darboux Cycliden und folgende.