Composición de isometrías

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Isometrías. Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro Cambio de sistema de referencia. Por definición, una reflexión desplazada D es el resultado de aplicar una simetría axial S y después aplicar una cierta traslación T (en la misma dirección que el eje de simetría). Así, decimos D es la composición de S con T, es decir, D(aplicada al plano) es lo mismo que T(S(aplicada al plano)). Esto se suele escribir simplemente: D = T S. Nota: Observa que, después del igual, la primera isometría que se aplica al plano no es la de la primera letra, T, sino la isometría de la última letra, S. Por tanto, al escribir una composición lo hacemos "de derecha a izquierda" (en este caso, primero S y a su izquierda T). Las isometrías T (traslación), G (giro), S (simetría axial) y D (reflexión desplazada), con su composición, forman un grupo. Esta actividad te puede ayudar a ver cómo se componen las isometrías y tratar de encontrar una isometría equivalente a la composición de dos isometrías cualesquiera. Nota: En esta actividad solo veremos los casos generales. Los resultados pueden variar para casos especiales (como por ejemplo al componer dos reflexiones de ejes paralelos o dos giros con el mismo centro).

1. Observa que el deslizador vertical marca T T. En la escena aparecen tres cisnes. ¿Qué representa cada uno? ¿Cuál puedes mover? ¿Conserva el cisne resultado de la composición la misma orientación que el cisne original?

2. Activa la casilla Rastro y pulsa el botón de Reproducir (esquina inferior izquierda). En lo sucesivo, anima o detén la animación cuando desees. El deslizador de movimiento (justo encima del de velocidad) te permite devolver el cisne móvil, una vez parado, a su posición inicial. ¿Cuál de las traslaciones se realiza primero, la correspondiente al vector azul o al vector amarillo? Activa la casilla Permuta. ¿Qué sucede? ¿Se puede deducir que la composición de dos traslaciones es conmutativa (es decir, no importa el orden en que se realicen, el resultado es el mismo)?

3. Reinicia (esquina superior derecha). Mueve el deslizador vertical a la posición G T. Activa la animación y el rastro. ¿Conserva el cisne resultado de la composición la misma orientación que el cisne original? Comprueba, activando y desactivando la casilla Permuta, si la composición de una traslación con un giro es conmutativa o no.

4. Repite la pregunta anterior con el resto de las posiciones del deslizador vertical S T, D T, G G, S G, D G, S S, D S y D D (con sus correspondientes permutaciones) y cubre la siguiente tabla:

Composición¿Conserva la orientación? ¿Es conmutativa?
T T o T T (Sí, No) (Sí, No)
G T o T G (Sí, No) (Sí, No)
S T o T S (Sí, No) (Sí, No)
D T o T D (Sí, No) (Sí, No)
G G o G G (Sí, No) (Sí, No)
S G o G S (Sí, No) (Sí, No)
D G o G D (Sí, No) (Sí, No)
S S o S S (Sí, No) (Sí, No)
D S o S D (Sí, No) (Sí, No)
D D o D D (Sí, No) (Sí, No)

5. Reinicia la aplicación. ¿Crees que las traslaciones forman un grupo propio? Es decir, ¿crees que hay una traslación que deja todo como estaba, que la isometría contraria a una traslación es otra traslación y que al componer dos traslaciones cualesquiera el resultado es otra traslación? Ayúdate de la aplicación.

6. Mueve el deslizador vertical a la posición G G. ¿Crees que los giros forman un grupo propio? Es decir, que hay un giro que deja todo como estaba, que la isometría contraria a un giro es otro giro y que al componer dos giros cualesquiera el resultado es otro giro? Ayúdate de la aplicación.

7. Repite la pregunta anterior para los giros con traslaciones, las simetrías axiales y las reflexiones desplazadas y cubre la siguiente tabla:

Composición de...¿Forman grupo?
Solo traslaciones (Sí, No)
Solo giros (Sí, No)
Giros con traslaciones (Sí, No)
Solo simetrías axiales (Sí, No)
Solo reflexiones desplazadas (Sí, No)

8. ¿Es cierto que la isometría contraria a una simetría axial es ella misma?

9. ¿Es cierto que la isometría contraria a una reflexión desplazada es otra reflexión desplazada? Ayúdate de la aplicación.

10. Reinicia la aplicación. Activa la casilla Buscar. El pequeño deslizador verde que aparece te permite elegir la isometría (T, G, S o D). El cisne verde es el resultado de aplicarla. Modifica el vector verde hasta que el cisne verde coincida con el cisne resultado de la composición. Con ello, habrás comprobado que la composición de dos traslaciones es otra traslación. Haz lo mismo con el resto de las composiciones y cubre la siguiente tabla. Te ayudará tener en cuenta la orientación del cisne resultado de la composición (pregunta 4). 

ComposiciónLa isometría resultante, en general, es...
T T o T T(T, G, S o D)
G T o T G(T, G, S o D)
S T o T S(T, G, S o D)
D T o T D(T, G, S o D)
G G o G G(T, G, S o D)
S G o G S(T, G, S o D)
D G o G D(T, G, S o D)
S S o S S(T, G, S o D)
D S o S D(T, G, S o D)
D D o D D (T, G, S o D)

11. De todo lo anterior, ¿se puede deducir que las cuatro isometrías forman un grupo? Es decir, ¿crees que hay una isometría que deja todo como estaba, que la isometría contraria a una isometría es otra isometría y que al componer dos isometrías cualesquiera el resultado es otra isometría? ¿Por qué?

Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss