To metoder til at differentiere funktioner
- Forfatter
- Anders
- Emne:
- Funktioner
Hvad er differentiation?
At differentiere en funktion, f(x), betyder, at man finder dens afledede funktion, f'(x).
Man kan bruge tretrinsreglen til at finde formlen for tangenthældningen på grafen for f(x) til enhver x-værdi.
Hvis vi anskuer denne formel som en ny funktion i sig selv, kaldes denne for "den afledede funktion til f(x)", og man bruger symbolerne f'(x) til at beskrive den.
Man behøver dog ikke at bruge tretrinsreglen for at differentiere funktioner. I har allerede set "Gustav Grams tretrinsregel", der også kan gøre tricket for én.
Man kan dog også differentiere funktioner ved blot at betragte grafen for f(x).
Herudfra kan man tegne grafen for dens afledede funktion. Man opnår altså en graf for den afledede funktion, f'(x), hvis funktionsværdi til hver x-koordinat angiver tangenthældningen ved denne x-koordinat på den oprindelige graf, f(x).
Denne metode kaldes - istedet for "tretrinsreglen" - for grafisk differentiation.
Opgave 1
I nedenstående applet ser I et andengradspolynomium.
I kan vha. skyderen vælge en x-koordinat at fokusere på.
I kan så aflæse hældningen af tangenten til grafen i denne x-koordinat ved at se på tangentens ligning.
Jeres opgave går ud på at sammenligne metoderne grafisk differentiation og tretrinsreglen.
a) Vælg en række x-koordinater (måske 5-10).
For hver af disse x-koordinater, skal I indtegne et nyt punkt med samme x-koordinat, men hvis
funktionsværdi(y-værdi) er lig tangenthældningen, I har observeret ved denne x-koordinat.
OBS: Dette kan gøres i "input"-feltet nederst på figuren, f.eks. kan man skrive (-1,0.51) og trykke Enter.
(Bemærk punktum som decimaladskiller, men komma som koordinatadskiller)
På denne vis opnår I en række nye punkter, hvis funktionsværdier illustrerer den oprindelige grafs tangenthældninger.
b) Hvilken slags graf lader de nye punkter til at tegne?
c) Forsøg nu at bruge tretrinsreglen på f(x) og se, hvilken afledet funktion, I opnår.
d) Overvej, hvordan svarene på b) og c) hænger sammen, og diskutér fordele og ulemper med din
sidemakker ved hver af de to metoder til at differentiere funktioner.