Transformación afín invertible
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
A las transformaciones del espacio del tipo P' = M P se les conoce como transformaciones lineales (el sistema conserva el origen), mientras que las transformaciones del tipo P' = M P + O se les conoce como transformaciones afines (a la transformación lineal se le añade una traslación del origen).
Hemos visto que realizar un cambio de base equivale a aplicar a cada punto P del plano una transformación lineal invertible P' = M P, mientras que realizar un cambio de sistema de referencia equivale a aplicar una transformación afín invertible P' = M P + O (como ya hemos visto, son invertibles, o no singulares, porque a, b y c son independientes).
Observa que el nuevo sistema de referencia queda totalmente determinado por las posiciones de O, A, B y C. Es decir, por la imagen de los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) en la transformación afín.
Si ahora consideramos los puntos O, A, B y C como los vértices de un tetraedro (cuyo volumen no puede ser nulo, pues a, b y c son vectores independientes), concluimos que el tetraedro OABC determina la transformación. Observa que la imagen del cubo unidad (con tres aristas en i, j, k) siempre es un paralelepípedo (con tres aristas en a, b, c).
El cambio de sistema de referencia determina, de este modo, además del nuevo origen, la forma del "reticulado espacial". Por ejemplo, cuando el tetraedro sea regular, el reticulado se volverá isométrico.
En cualquier caso, a, b y c determinan un paralelepípedo cuyo volumen viene dado por el valor absoluto del producto mixto [a, b, c], que a su vez es el valor absoluto del determinante de M. Este valor es el factor en que se agrandará (si es mayor que 1), conservará (si es igual a 1) o reducirá (si es menor que 1) el volumen de cualquier sólido sometido al cambio de sistema de referencia.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.