Osobine mešovitog proizvoda
Neka su tri nekomplanarana (ne pripadaju istoj ravni) vektora označena sa:
Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora i trećeg vektora je skalar jednak (po apsolutnoj vrednosti) zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima kao ivicama, a naziva se mešoviti proizvod tri vektora i označava se sa
Da bismo to pokazali, označimo
pa je po definiciji skalarnog proizvoda
Intenzitet vektora
predstavlja površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima, a to je osnova paralelopipeda.
Visina paralelepipeda, na osnovu pravouglog trougla na slici, je
pa je
Pri dokazivanju smo pretpostavili da dati vektori čine desni triedar. U slučaju da oni formiraju levi triedar, zapremina će imati suprotan znak. Prema tome, mešoviti proizvod je po apsolutnoj vrednosti jednak zapremini paralelepipeda čije su ivice dati vektori, a njegov znak daje orijentaciju triedra.
Cikličnim pomeranjem vektora u mešovitom proizvodu ne menja se apsolutna vrednost proizvoda. Zato je
Važi i
Ako su tri vektora koplanarna, onda je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. To je geometrijski gledano očigledno, jer tri koplanarna vektora obrazuju paralelopiped zapremine nula.
Ako su vektori izraženi pomoću pravouglih koordinata, to jest ako je
onda možemo izvesti da je
ili u obliku determinante
I ovde, kao kod vektorskog proizvoda, pokažimo da je to isto:
Dakle, opet u zavisnosti od naše „ljubavi“ prema determinantama, biramo jednu od ove dve formule kao definiciju mešovitog proizvoda izraženu koordinatama.
Primer: Dokazati da tačke A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1) i D(2, 1, 3) leže u jednoj ravni.
Rešenje: Ako tačke leže u istoj ravni, onda su njima određeni nekolinearni vektori npr.
komplanarni, a to lako dokazujemo:
Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora i trećeg vektora je skalar jednak (po apsolutnoj vrednosti) zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima kao ivicama, a naziva se mešoviti proizvod tri vektora i označava se sa
Da bismo to pokazali, označimo
pa je po definiciji skalarnog proizvoda
Intenzitet vektora
predstavlja površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima, a to je osnova paralelopipeda.
Visina paralelepipeda, na osnovu pravouglog trougla na slici, je
pa je
Pri dokazivanju smo pretpostavili da dati vektori čine desni triedar. U slučaju da oni formiraju levi triedar, zapremina će imati suprotan znak. Prema tome, mešoviti proizvod je po apsolutnoj vrednosti jednak zapremini paralelepipeda čije su ivice dati vektori, a njegov znak daje orijentaciju triedra.
Cikličnim pomeranjem vektora u mešovitom proizvodu ne menja se apsolutna vrednost proizvoda. Zato je
Važi i
Ako su tri vektora koplanarna, onda je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. To je geometrijski gledano očigledno, jer tri koplanarna vektora obrazuju paralelopiped zapremine nula.
Ako su vektori izraženi pomoću pravouglih koordinata, to jest ako je
onda možemo izvesti da je
ili u obliku determinante
I ovde, kao kod vektorskog proizvoda, pokažimo da je to isto:
Dakle, opet u zavisnosti od naše „ljubavi“ prema determinantama, biramo jednu od ove dve formule kao definiciju mešovitog proizvoda izraženu koordinatama.
Primer: Dokazati da tačke A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1) i D(2, 1, 3) leže u jednoj ravni.
Rešenje: Ako tačke leže u istoj ravni, onda su njima određeni nekolinearni vektori npr.
komplanarni, a to lako dokazujemo:
