Muoversi ... senza uscire dal piano

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le isometrie dirette (o movimenti)

rotazione seguita da traslazione (roto-traslazione): è una trasformazione composta del tipo T_vR_u con uU e vC
una figura F viene trasformata da una roto-traslazione in una figura F' che non solo mantiene sia la forma sia la grandezza di F, ma è ottenibile a partire da F senza uscire dal piano C, ossia con un movimento, "dentro" al piano stesso, che sovrappone F a F'. Per contro, la coniugazione porta una figura in un'altra di uguale forma e grandezza, ma ottenibile da quella di partenza solo con un ribaltamento intorno all'asse reale, quindi "uscendo" dal piano. Le roto-traslazioni sono perciò dette isometrie dirette o movimenti
formula di un'isometria diretta: ricaviamo subito, dalla definizione: (T_vR_u)(z) = u•z + v
traslazione seguita da rotazione: anche R_uT_v è una roto-traslazione, in quanto: (R_uT_v)(z) = u(z+v) = uz+uv = (T_{u v}R_u)(z), per cui: R_uT_v = T_{u v}R_u
proprietà dei movimenti:

la composizione di movimenti dà un movimento: infatti, tenendo presente l'associatività della composizione di funzioni, nonché il criterio appena illustrato per scambiare l'ordine di composizione di rotazione e traslazione, si ha: (T_v'R_u')(T_vR_u) = T_v'(R_u'T_v)R_u = T_v'(T_u'vR_u')R_u = (T_v'T_u'v)(R_u'R_u) = T_v'+u'vR_u'u
l'identità come movimento nullo: osserviamo che id = T₀ = R₁ = T₀R₁
inversione di un movimento: il movimento T_vR_u composto con il movimento R_1/uT_-v dà l'identità
preservazione dell'orientamento: dati tre punti A, B, C e un movimento che li porti rispettivamente in A', B', C', i percorsi ABC e A'B'C' sono o entrambi orari o entrambi antiorari (brevemente si dice che sono concordi).

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