Regiones en un círculo
Se tienen n puntos en una circunferencia y se traza la cuerda que une cada par de puntos. Los puntos se stúan de manera que no concurran tres cuerdas en un mismo punto interior a la circunferencia.
Hay varias formas de verlo. Quizás la más rápida sea pensar en que ocurre
cuando vamos retirando cada una de las cuerdas. Si en ella había k puntos de
intersección, que la dividian en k + 1 segmentos, desaparecen k + 1
regiones. Al quitar otra, desapareceran k’ + 1 regiones, donde k’ es el
número de puntos que había en esa cuerda, después de retirar las anteriores.
En definitiva, al retirar todas las cuerdas, han desaparecido tantas
regiones como puntos de intersección y cuerdas había, y aún nos queda una,
el círculo completo. Luego si el número de cuerdas es c(n) y el de puntos de
intersección es p(n), el número de regiones para n puntos es:
r(n) = p(n) + c(n) + 1
El número de cuerdads es fácil de calcular: cada par de puntos produce una
cuerda. Por tanto, son Comb(n, 2).
En cuanto al de los puntos de intersección, por cada cuatro puntos en la
circunferencia hay uno, pues los cuatro puntos forman un cuadrilátero
convexo, y los segmentos que los unen son sus cuatro lados y las dos
diagonales, que se cortan en un punto en su interior. Por tando p(n) =
Comb(n, 4).
El número de regiones es
r(n) = 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, …
empezando por n = 0 (0 puntos, una región, todo el círculo). Es curioso que
desde n = 1 hasta 5 se corresponde con 2^(n-1). La «ley débil de los números
pequeños» nos hace pensar que r(6) debe ser 32, y resulta que no, que falta
una … Para mayor abundamiento, resulta que r(10) = 2^8 …