Attività di scoperta: cosa fa davvero la moltiplicazione complessa?
Moltiplicazione tra complessi
- una rotazione
- e una dilatazione
Scelta dei numeri complessi e loro caratterizzazione
Siano dati i seguenti numeri complessi: Calcola e riporta sotto il loro modulo e il loro argomento ricordando che ; I tre vettori hanno lunghezze diverse? Che direzione hanno?
Visualizzazione nel piano
Visualizzazione nel piano complesso
Introduzione del moltiplicatore
Scegliamo come numero complesso moltiplicatore un numero semplice del tipo stabilisci il suo modulo e il suo argomento (angolo) analogamente a quanto fatto prima:
Moltiplicazione
Svolgi le moltiplicazioni suggerite tra i vettori espressi in forma algebrica: ; Calcola e riporta sotto il loro modulo e il loro argomento ricordando che ; I tre vettori hanno lunghezze diverse rispetto ai vettori corrispondenti ai numeri complessi , e ? Che direzione hanno rispetto a quelle dei vettori corrispondenti ai numeri complessi , e ?
Visualizziamo nella finestra di GeoGebra precedente:
Confronto tra le lunghezze dei lati dei triangoli
Sempre nella stessa finestra di GeoGebra di prima, con il comando: individua e scrivi sotto tali distanze che rappresentano un lato prima della trasformazione e dopo la trasformazione. Ripeti tali comandi per determinare altri lati corrispondenti dei due triangoli. 1) I lati sono cambiati? 2) Di quanto? 3) ) I lati hanno subito tutti la stessa dilatazione? 4) Le loro lunghezze in che relazione stanno con il modulo del moltiplicatore ?
Confronto tra gli angoli dei triangoli
Sempre nella stessa finestra di GeoGebra di prima, con gli opportuni comandi, puoi visualizzare gli angoli tra due lati corrispondenti dei due triangoli: individua e scrivi sotto tali angoli che rappresentano un angolo tra due lati prima della trasformazione e dopo la trasformazione. 1)Gli angoli sono cambiati? 2) come si definiscono triangoli (prima della trasformazione e dopo) che godono di tali proprietà?
Rotazione
1) Il triangolo sembra ruotato? 2) Di quanto? Suggerimento: usando sempre la stessa finestra di Geogebra, confrontare gli angoli dei vettori prima di moltiplicarli per il fattore moltiplicativo e dopo; a tal proposito puoi inserire, per esempio, il seguente comando: 3) in che relazione è l'angolo tra i due vettori trasformati dal fattore moltiplicativo rispetto all'argomento(angolo) di quest'ultimo?
Trasformazione geometrica di una figura legata al fattore moltiplicativo
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che ha subito il triangolo trasformato dal fattore moltiplicativo
Trasformazione geometrica di un numero complesso (visualizzabile con un punto-vettore) legata al fattore moltiplicativo
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che subisce un numero complesso trasformato dal fattore moltiplicativo (specifica la trasformazione del suo modulo e del suo argomento in relazione alle caratteristiche del modulo e argomento del fattore moltiplicativo )
Estensione dinamica
In una nuova finestra di Geogebra inserita sotto, crea un fattore moltiplicativo variabile inserendo due opportuni slider: Ripeti tutte le operazioni fatte precedentemente e descrivi cosa succede al triangolo e al suo trasformato quando il fattore moltiplicativo cambia (crea triangoli dinamici).
Considerazioni finali
Fai sotto le tue considerazioni sull'attività svolta.