Equações Equivalentes
Quando temos uma equação polinomial, podemos usar as técnicas de fatoração para encontrar as soluções. Mas e se a equação não for polinomial? Por exemplo, quais são as soluções da equação ? A ideia é que vamos aplicar uma série de operações na equação para transformá-la em uma outra equação que saibamos resolver, uma equação polinomial, por exemplo.
No caso acima, podemos tentar elevar ambos os membros da equação ao quadrado:
onde o símbolo significa "implica", ou "o lado direito é uma consequência do lado esquerdo". Essa operação é possível pois claramente . Calculando as raízes de , vemos facilmente que ou ou . Mas não é uma solução da equação original pois
Ou seja, toda solução de é uma solução de , mas o contrário não vale necessariamente, nem toda solução de é uma solução de . Essas soluções extras são chamadas de raízes espúrias.
Mas por que isso acontece? O problema é que , mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, nem sempre , como é fácil ver para e , mas . O que devemos fazer então? É simples: agora que sabemos que a operação de elevar o quadrado pode introduzir raízes espúrias, devemos sempre verificar se as soluções encontradas satisfazem a equação inicial.
Note que pode acontecer da operação de elevar o quadrado não introduzir raízes espúrias. Por exemplo, considere a equação . Elevando ao quadrado, segue que
As soluções de são e , que também são as soluções de . Neste caso, dizemos que e são equações equivalentes pois têm as mesmas soluções e podemos escrever
Moral da história: pode acontecer das operações que aplicamos para tentar resolver uma equação (multiplicar ou dividir ambos os membros por um mesmo valor, elevar ambos os membros a uma mesma potência etc.) não resulte em uma equação equivalente. Neste caso, devemos sempre verificar se as soluções encontradas satisfazem a equação original.
Exercícios Propostos
Resolva as seguintes equações: