milieu d'un segment
- Auteur :
- Debart Patrice
- Thème :
- Segment
Le milieu I d'un segment [AB] est constructible au compas seul.
Figure de base
Le principe consiste à utiliser les propriétés de la figure en cochant la case figures de bas,dans laquelle le segment [AB] a pour longueur1.
Le point C est le symétrique de A par rapport à B, . C est constructible au compas seul.
les segments [AC] et [CD] ont pour longueur 2 et les segments [AD] et [DI] ont pour longueur 1.
Les triangles ACD et ADI sont semblables car ils sont tous les deux isocèles et partagent un même sommet de base DAI.
Le segment [AI] a donc pour longueur AI = 1/2 AD = 1/2 et le point I est le milieu du segment [AB].
Il suffit de reproduire les points de cette figure uniquement au compas.
Construction
Les cercles de centre A passant par B et de centre C passant par A se coupent en D et D’.
Les cercles de centres D et D’ passant par A se recoupent en I milieu du segment [AB].
Preuve
En effet, soit A’ le symétrique de A par rapport à C et H l'intersection de (AB) et (DD’).
Comme H est le pied de la hauteur du triangle rectangle ADA’ inscrit dans le demi-cercle de centre C, on a :
AD2 = AH × AA’, soit AD2 = AH × 4 AB.
On obtient donc AH = AB/4 et ainsi AI = AB/2 .
Descartes et les Mathématiques : Constructions au compas seul