Abatimiento triángulo equilátero
Enunciado:
Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero ABC contenido en un plano definido por la horizontal h y la recta s. El vértice C, que pertenece a la recta s tiene la mayor de las cotas posibles.
Resolución:
Se conoce la forma del triángulo ABC, al ser equilátero, y además del plano que contiene a la figura se conoce la horizontal h. Si se realiza un abatimiento rotando sobre h se puede obtener la figura en verdadera magnitud en la proyección prima.
Pasos:
1- Se determina la recta q, que pasa por A y B, así como las intersecciones de s y q con h, Is e Iq respectivamente.
2- En el abatimiento alrededor de la recta h los puntos A y B se mueven en los planos proyectantes A y B respectivamente. Estos se ven proyectivamente en la proyección prima, dado que son perpendiculares a h, una recta en verdadera magnitud en ' (al ser horizontal).
La otra condición que conocemos para el triángulo abatido es que el ángulo entre s y q en verdadera magnitud ha de ser 60º. Ese mismo ángulo tendrán que formar s0 y q0 las rectas abatidas. Por lo tanto A0 tiene que estar en un arco capaz de 60º sobre el segmento entre I's e I'q.
3,4,5- Para determinar el arco capaz basta con determinar un triángulo equilátero, de lado el segmento entre I's e I'q. El tercer vértice de ese triángulo es P0.
6- Con un par de mediatrices se puede determinar el centro del arco capaz.
7- Y el propio arco capaz ac60º.
8- Con los dos lugares geométricos para A0 el punto abatido está determinado.
9- Y eso define las dos rectas abatidas, s0 y q0.
10- El punto B abatido, B0 está en q0. y en 'B.
11- La verdadera magnitud del lado del triángulo equilátero está determinada.
12- Llevando dicha magnitud a la recta s0 se puede determinar el punto C0.
13- Así como los otros dos lados del triángulo equilátero abatido.
14- Se deshace el abatimiento del punto C, C' ha de pertenecer a la recta s', y debe estar en el plano proyectante 'C. Con eso se determinan las proyecciones prima de los tres lados del triángulo.
El siguiente paso es determinar las proyecciones segundas de los tres puntos. Si se determina la diferencia de alturas ΔzA de cualquiera de los tres puntos con cualquier punto de la recta horizontal h se tiene la proyección '' del punto, y empleando I''s e I''q las rectas s'' y q'', y por lo tanto los otros dos puntos.
Para ello se reconstruye el triángulo rectángulo que tiene como catetos el segmento A'-I'q y el incremento de alturas ΔzA, y como hipotenusa la verdadera magnitud del segmento A-Iq.
15- La verdadera magnitud de dicho segmento, VMIq-A ya está determinada en el abatimiento.
16- Trasladando dicho segmento a la perpendicular a q' por A.
17- Se obtiene ΔzA. La información del enunciado de que el vértice C, tiene la mayor de las cotas posibles implica que esta diferencia de alturas ha de ser positiva.
18- Trasladando ΔzA, en la segunda proyección sobre h'', y llevando la dirección de proyección
19- Se obtiene A''.
20- Con ello s'' y q'',
21- Y por lo tantoB'' y C'', y las proyecciones segundas de los tres lados del triángulo.
22- En el último paso se ve la solución sin los trazados auxiliares.
Nota: La mayor parte de los datos del enunciado se pueden mover, pero no existe solución para todas las posiciones de los puntos.
Puede encontrar documentación relevante aquí (Apuntes Sistemas de Representación FMG v1.0).