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Nullstellenbestimmung durch Substitution

Yazar:Astrid Schuetzeneder, L. Böker

Allgemein: Nullstelle(n) berechnen

Geben Sie an, was immer der erste Schritt ist, wenn die Nullstelle(n) einer Funktion berechnet werden soll(en).

Cevabımı kontrol et
Nun zu unserer Aufgabe: Wir möchten die Nullstellen der Funktion bestimmen.

1. Schritt: Funktionsterm gleich Null setzen Geben Sie an, welche Antworten im "1. Schritt" richtig wären:

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Cevabımı kontrol et (3)
Wir wollen die Nullstellen durch die Substitutionsmethode bestimmen: Substitution kommt vom Lateinischen "substituere" = "ersetzen". Bei der Substitutionsmethode ersetzt (substitutiert) man den Ausdruck x2 durch eine andere Variable, z.B. u. Also: x2 = u

2. Schritt: Substitution Welcher der angegebenen Terme entsteht, wenn man bei der Gleichung x2 durch u ersetzt:

[Tipp: ]

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Cevabımı kontrol et (3)
Die nun entstandene quadratische Gleichung kann mit Hilfe eines bekannten Verfahrens nach u aufgelöst werden.

3. Schritt: Auflösen nach u Geben Sie an, mit welchem bekannten Verfahren u bestimmt werden kann.

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Cevabımı kontrol et (3)
Am Ende darf nicht vergessen werden, die Variable u wieder durch x2 zu ersetzen (resubstituieren).

4. Schritt: Resubstitution

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Cevabımı kontrol et (3)
Durch die Resubstitution vergrößert sich in der Regel die Anzahl der Lösungen.

5. Schritt: alle Nullstellen bestimmen Welchen Grad hat unser Beispielpolynom :

Cevabımı kontrol et

Geben Sie an, wie viele Nullstellen unser Beispielpolynom dann insgesamt haben kann.

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Cevabımı kontrol et (3)
Zu den Anzahlen der Nullstellen kommen wir gleich nochmal. Siehe dir zuerst die beiden Beispiele genau an, um die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitutionsmethode zu verinnerlichen. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 1: 1. Schritt: y = 0 setzen 2. Schritt:Substitution: 3. Schritt: "Mitternachtsformel" 4. Schritt: Resubstitution: 5. Schritt: alle Nullstellen bestimmen Die Funktion h hat also vier Nullstellen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 2: 1. Schritt: y = 0 setzen 2. Schritt: Substitution 3. Schritt: "Mitternachtsformel" 4. Schritt: Resubstitution: 5. Schritt: alle Nullstellen bestimmen Da sich aus keine Lösungen ergeben, hat die ganzrationale Funktion i nur zwei Nullstellen. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ZUSATZAUFGABEN: Wann würden sich keine Nullstellen für das Polynom 4. Grades ergeben? Begründen Sie.

Cevabımı kontrol et
Wenden wir unser Wissen nun auf die graphische Herangehensweise an.

Entscheiden Sie, welcher der folgenden Graphen zur Funktion i des 2. Beispiels gehört. Begründen Sie Ihre Antwort.

Cevabımı kontrol et

Wie viele Nullstellen hat die Funktion des Graphen von b)? Begründen Sie.

Cevabımı kontrol et
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Aber nun zurück zu unserem Einstiegsbeispiel: Herzfrequenzkurve Arbeitsauftrag: a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = 2x4 - 5x2 +1 mit Hilfe der Substitutionsmethode auf einem Blatt. Beachten Sie dabei die 5 Schritte! b) Besprechen Sie anschließend Ihre Ergebnisse mit Ihrem Partner bzw. Ihrer Gruppe. c) Stellen Sie Ihr Gruppenergebnis vor. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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