Radio del círculo de Lucas
El círculo de Lucas cA es homotético de la circunferencia circunscrita ω respecto del punto A, con razón ha/(ha+a), por la construcción del cuadrado inscrito. Por tanto RA y R se encuentran en la proporción ha/(ha+a).
Recordando que S=½ a·ha=(abc)/(4R), se deduce inmediatamente que
RA=bcR/(bc + 2aR)
Nótese que por la homotecia, los puntos A, OA y O están alineados.
Procediendo de igual forma con los otros vértices, se obtienen la mismas fórmulas para los radios correspondientes, con las letras convenientemente permutadas.