Google Classroom
GeoGebraAula GeoGebra

Problema d'optimització (espill trencat)

ENUNCIAT DEL PROBLEMA

Un espill rectangular de dimensions dm s’ha trencat per un cantó, formant un triangle rectangle de catets 24 dm i 18 dm (corresponents a les dimensions menor i major de l’espill) i un pentàgon. Determineu les dimensions de l’espill rectangular que es pot extreure en el tros pentagonal.

PLANTEJAMENT

Podem representar els eixos de coordenades com es veu a la figura que hi ha més avall. Definim el rectangle a l'interior del pentàgon amb els vèrtexs E (compartit amb el pentàgon), H, F i G. Amb un paràmetre, diguem-li , designarem la posició del punt G. Com que la distància del vèrtex C del mirall a l'eix vertical és de 18 dm, el paràmetre prendrà valors entre 0 i 18 (dm).
  • Les coordenades del punt G són doncs .
  • I les coordenades del punt E ja estan fixades: .
Observem que els punts F i H tenen la mateixa segona coordenada. Aquesta vindrà donada per l'equació de la recta que uneix els vèrtexs B i C de l'espill. L'equació d'aquesta recta és:

Per tant,
  • les coordeades del punt F són
  • i les coordenades del punt H són .
Podem deduir l'àrea del rectangle EFHG:

Aquesta funció és la que hem d'optimitzar.