Google ClassroomGoogle Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Problema d'optimització (espill trencat)

ENUNCIAT DEL PROBLEMA

Un espill rectangular de dimensions dm s’ha trencat per un cantó, formant un triangle rectangle de catets 24 dm i 18 dm (corresponents a les dimensions menor i major de l’espill) i un pentàgon. Determineu les dimensions de l’espill rectangular que es pot extreure en el tros pentagonal.

PLANTEJAMENT

Podem representar els eixos de coordenades com es veu a la figura que hi ha més avall. Definim el rectangle a l'interior del pentàgon amb els vèrtexs E (compartit amb el pentàgon), H, F i G. Amb un paràmetre, diguem-li , designarem la posició del punt G. Com que la distància del vèrtex C del mirall a l'eix vertical és de 18 dm, el paràmetre prendrà valors entre 0 i 18 (dm).
  • Les coordenades del punt G són doncs .
  • I les coordenades del punt E ja estan fixades: .
Observem que els punts F i H tenen la mateixa segona coordenada. Aquesta vindrà donada per l'equació de la recta que uneix els vèrtexs B i C de l'espill. L'equació d'aquesta recta és:

Per tant,
  • les coordeades del punt F són
  • i les coordenades del punt H són .
Podem deduir l'àrea del rectangle EFHG:

Aquesta funció és la que hem d'optimitzar.