Potenze e radici
- Autore:
- F. Manzo
- Argomento:
- Radici
Analogamente, elevare alla potenza n il numero complesso A, vuol dire far ruotare di nα volte il segmento di lunghezza .
Dal momento che la radice è l'operazione inversa della potenza, un radice quadrata di un numero complesso è individuata dall'angolo θ/2. Per trovare l'altra radice, basta osservare che θ e θ+2π individuano lo stesso punto. Dividendo θ+2π per due individuiamo quindi l'altra radice quadrata che cercavamo. Dunque le due radici sono diametralmente opposte nella circonferenza che ha centro nell'origine e raggio .
Esercizio 1: Le radici di i sono numeri complessi? Se sì, individuale.
In generale, una radice n-esima di un numero complesso si trova dividendo per l'angolo α, le altre si trovano distanziate da questa di , con k=1,…,n−1. Il modulo di tutte queste radici sarà la radice n-esima di r.
Esercizio 2: (l'errore di Leibnitz). Nel 1702 Leibnitz, uno dei più grandi matematici della sua epoca, sostenne di aver trovato un controesempio al teorema fondamentale dell'algebra (dimostrato 100 anni dopo da Gauss): secondo lui, non era possibile trovare le radici di . Tu sai trovarle tutte e quattro?
Esercizio 3: Moltiplicando per si ottiene un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Utilizza questo risultato per fattorizzare il polinomio nel prodotto di due polinomi a coefficienti reali.
Esercizio 4: L'interpretazione dell'elevazione a potenza come una rotazione, non è un pettegolezzo, ma uno strumento di calcolo. Prova ad usarla per calcolare . Suggerimento: calcola prima , poi …
Esattamente come si fa per i numeri reali, possiamo allora definire le potenze razionali di un numero complesso, per poi estendere la nozione a potenze reali di numeri complessi.