twee figuren met dezelfde oppervlakte
tekenopgave
De 11e propositie van Boek II geeft als opdracht een lijnstuk te verdelen als basis voor twee figuren.
- een vierkant op het grootste deel,
- een rechthoek met als breedte het kleinste deel en als lengte de lengte van het hele lijnstuk.
uitwerking
De tekst in De Elementen beschrijft hoe je deze verdeling kan maken.
Volg de constructie in onderstaand applet.
De gulden snede in deze constructie
Stel je |AB| = 1, dan is |AH| = |AF|= .
De constructie is niets anders dan de wortelconstructie die we kennen, want:
- In het grote vierkant ABCD is [EB] de diagonaal in het halve vierkant.
- |AF| = de lengte van deze diagonaal, waarvan 1/2 wordt afgetrokken.
de gulden snede verhouding in de twee oppervlaktes
Met |AB| = 1, |AH| = a en |BH| = b
betekent de gelijkheid van oppervlaktes: , waaruit .
Vierkant en rechthoek kunnen enkel even groot zijn als het langste deel (a) middelevenredig is tussen het geheel en het kleinste deel.
Euclides benoemt dus niet eens deze verdeling van het lijnstuk en gebruikt het tekenen van oppervlaktes om de wiskundige eigenschap van de verdeling te illustreren.
Beschrijving van probleem en constructie door Euclides
bewijs van de gelijkheid door Euclides
Merk op dat Euclides zowel in de uitwerking als in het bewijs Euclides enkel focust op het vergelijken van oppervlaktes, terwijl hij (in onze ogen) de constructie van de gulden snede beschrijft.
Maar in deze propositie geeft Euclides de verdeling niet eens een naam.