Das Skalarprodukt in der Physik

Im Verlauf eines Physikstudiums wird man feststellen, dass das aus der Schulmathematik bekannte Skalarprodukt eine weitaus größere Bedeutung hat, als zur Berechnung von Winkeln. Daher soll es hier am Beispiel der mechanischen Arbeit, die aus dem Physikunterricht der Mittelstufe bekannt ist, ein erstes Mal mit der Physik verknüpft werden. Im Applet geht es darum, einen Körper mithilfe einer Kraft von einem Punkt im Raum (zur Vereinfachung in der Ebene) zu einem davon verschiedenen zu bewegen und zu bestimmen, welche Arbeit dafür verrichtet werden muss. Durch Eingaben verändert werden kann dabei der gewählte Weg . Für die Kraft habe ich hier ein Beispiel gewählt, das der Gegenkraft zur Gewichtkraft entsprechen könnte. Diese wirkt konstant in vertikaler Richtung. Man kann hier aber auch Beispiele wählen, bei denen die Kraft in Abhängigkeit vom Ort nicht konstant ist. Zur Orientierung habe ich die Ortsabhängigkeit der Kraft durch ein Feld von Vektorpfeilen (blassgrün) dargestellt. Auch zu finden sind die Pfeile der für die Betrachtung wesentlichen Vektoren. Sie werden in den theoretischen Betrachtungen näher beleuchtet. Anhand des Schiebereglers kann gewählt werden, wie weit die Bewegung unter Einwirkung der Kraft im gegebenen Zeitintervall erfolgt sein soll. Die Schrittweite gibt in diesem Zusammenhang an, wie weit im nächsten Bewegungsschritt der Körper verschoben werden soll. Da der gewählte Weg nicht geradlinig und linear mit verlaufen muss, ergibt sich damit eine gewisse Ungenauigkeit des Wegstücks gegenüber der differentiellen Größe . Wählt man also kleiner, wird das Ergebnis näher an der differentiellen Beschreibung liegen, die Darstellung wird aber unübersichtlicher. Die Wahl wird also auf einen mittleren Wert fallen.



 Nebenstehend ist die Situation dargestellt, in der die Kraft über das betrachtete Wegstück hinweg wohl noch konstant ist, aber nicht mehr vollständig in Richtung des Weges wirkt. Wir können jedoch den Kraftvektor zerlegen und somit den Anteil (hier mit markiert) bestimmen, der parallel zum Wegstück (im Bild mit s beschriftet) wirkt. Damit haben wir erreicht, dass der Inhalt des Rechtecks die Arbeit beschreibt, die auf dem Stück verrichtet wird. Im rechtwinkligen Dreieck gilt und daher für die Arbeit (hier mit W gekennzeichnet): . Der letzte Term entspricht genau der Definition des Skalarproduktes aus den Vektoren und . Wir können auch bequem schreiben. Damit wären wir an unserem Ziel, das Skalarprodukt in der Physik zu verwenden, angekommen. Verwenden wir für Kraft und Ort Koordinaten, können wir nun auch die einfache Berechnung verwenden.

Die Verallgemeinerung der Definition: Wir haben zwar bereits die Arbeit als ein Skalarprodukt dargestellt, es lohnt sich aber, deren Berechnung nun für beliebige Wege oder auch ortsabhinge Kräfte zu definieren. Gegeben seien nun also eine ortsabhängige Kraft und ein Verschiebungsweg . Der Parameter muss hier nicht unbedingt eine Zeit kennzeichnen. Daher verwenden wir im Folgenden auch nicht die Variable für die Ableitung, wohl aber die Kennzeichnung durch den Punkt. Zunächst verschieben wir die Punktmasse um den Betrag . Im Applet sehen wir, dass die vorigen Abschnitt beschriebene Berechnung nur annähernd den Zuwachs liefern wird. Für sehr kleine Intervalle gilt aber . Im Applet können Sie den Übergang durch Anklicken des Kontrollkästchens veranschaulichen. Setzen wir nun diesen Zusammenhang in die Gleichung aus dem letzten Abschnitt ein, erhalten wir für den Zuwachs die Beziehung . Die Summe aller Zuwächse vom Beginn des gewählten Weges an ergibt dann die insgesamt verrichtete Arbeit. Nun führen wir noch einen letzten Grenzübergang ein, indem wir \Delta t durch dt und die Summe durch das Integral ersetzen. Wir erhalten somit . Für scheiben wir und erhalten

als allgemeine Definition der mechanischen Arbeit.