Màxima superfície il·luminada de casquets esfèrics - Optimització
Descripció del problema
Es parteix del següent enunciat:
Donades les esferes de radi R i r tals que les distàncies entre llurs centres és d, es situa un punt lluminós en la línia que uneix els centres, entre ambdues esferes. En quin punt caldria situar-lo per tal que la suma de les superfícies il·luminades en ambdues esferes sigui màxima?
La construcció mostra la situació (reducció a 2D).
Els centres estan a una distància 1.
Es poden fer lliscar els punts C i D per a variar els radis de les esferes.
La funció f (verd) és la superfície il·luminada, S(x), la funció a optimitzar.
Es dóna per sabuda la fórmula de la superfície d'un casquet esfèric,
La funció en vermell, f' , és la derivada de f. Per tant la seva arrel és el punt demanat.
El que potser és curiós d'aquest problema és que en començar a pensar-lo pot semblar que la solució acabarà essent el punt on es tallen les tangents interiors.
Comentaris i suggeriments de millora són benvinguts.