Traslazione - cambio del sistema di riferimento
- Autore:
- Ilic Ferretti
- Argomento:
- Traslazione
La trasformazione più semplice del sistema di riferimento è la traslazione, ovvero uno spostamento rigido degli assi, senza cambiamento della loro inclinazione.
Studiare un elemento da più sistemi di riferimento può creare della confusione, quindi è necessario definire in modo chiaro gli elementi che sono coinvolti nel nostro discorso.
Consideriamo un nuovo sistema di riferimento traslato rispetto al primo. Usiamo un apice - cioè un ' - ed il colore rosso per indicare tutto quello che si riferisce al nuovo sistema.
L'origine del nuovo sistema è nel punto , di coordinate .
Un qualsiasi punto ha coordinate nel vecchio sistema.
Lo stesso punto P, nel nuovo sistema, avrà coordinate .
Nella seguente animazione vogliamo trovare la relazione che c'è tra
- e , le coordinate di P nel vecchio sistema
- e , le nuove coordinate di P nel nuovo sistema
Facciamo il punto della situazione. Se sono nel sistema nero e voglio ottenere le "mie" coordinate del punto P, ho trovato che le ottengo grazie alle seguenti leggi di trasformazione:
Cioè le "mie" coordinate di P si ottengono sommando le coordinate che IO* attribuisco alla "altra" origine e le coordinate di P viste dagli "altri".
* Nota che sono le coordinate della "altra" origine secondo il MIO punto di vista: dal "loro" punto di vista la loro origine è , cioè al centro del "loro" mondo!
Ovviamente posso invertire queste formule se voglio ricavare, ad esempio, le coordinate di P dal punto di vista degli altri:
Vediamo nell'esempio qui sotto un'applicazione della formula.
LE COORDINATE DI UN PUNTO VISTO DA UN SISTEMA TRASLATO
Partiamo da un esempio semplice, considerando un punto e chiedendoci quali coordinate abbia in un altro sistema di riferimento traslato rispetto al primo.
EQUAZIONI DI CURVE VISTE DA UN ALTRO SISTEMA
Vediamo ora che, analogamente a quanto visto con le traslazioni degli oggetti, quando lavoriamo con delle curve, ad esempio con delle rette, ci servono le leggi di trasformazione che indicano le coordinate di partenza (cioè quelle del sistema in cui ci è data la curva), in modo da poterle sostituire nell'equazione che abbiamo e far comparire al loro posto quelle nuove.
Vediamo un altro esempio nell'animazione qui sotto.
- creiamo un nuovo sistema di riferimento in cui l'ellisse proposta è particolarmente comoda da descrivere,
- per ottenere la sua equazione nel sistema originale dovremo invertire le equazioni di trasformazione per ottenere le coordinate "nuove" e sostituirle.
Vediamo lo stesso effetto cambiando approccio: mettiamo l'ellisse nel sistema originale e creiamo un secondo sistema spostato in modo opposto rispetto alla traslazione che vogliamo applicare all'ellisse: invece di spostare l'oggetto, cambiamo il "punto di vista" in modo opposto.
TRASLAZIONE DI UN OGGETTO E CAMBIO DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO: STESSA COSA!
Come anticipato nel paragrafo precedente, osservare un oggetto da un sistema di riferimento traslato può essere un altro modo per "vedere" quell'oggetto traslato nel piano in direzione opposta. Infatti se osservo un oggetto e mi muovo di due passi indietro, è come se vedessi l'oggetto spostarsi in avanti.
Poter affrontare il problema da entrambi i punti di vista può essere utile per risolvere ogni caso nel modo di volta in volta più semplice. Vediamo nella prossima animazione l'equivalenza dei due approcci.
APPENDICE: QUESTIONE DI PUNTI DI VISTA
Riprendiamo l'esempio delle coordinate del punto viste dal sistema traslato per approfondire un altro aspetto.
Ora che abbiamo le coordinate rosse , vogliamo fare una verifica: torniamo indietro al sistema nero e vogliamo riottenere i numeri originali.
Abbiamo due possibilità:
1) possiamo usare le formule dirette del sistema nero:
sostuendo le coordinate rosse otteniamo
Abbiamo ottenuto di nuovo le coordinate , quindi abbiamo applicato correttamente le trasformazioni
2) Dal punto di vista dei "rossi" è il sistema nero ad essere traslato, in particolare verso sinistra e verso il basso. Non è un caso se ad un certo punto abbiamo parlato di "nostro" e "loro" sistema di riferimento: non esiste un sistema che è al centro e gli altri che sono traslati: è un discorso relativo in cui ognuno vede se stesso al centro e gli altri "spostati" dal "vero" centro. Ma quello che abbiamo detto sopra, partendo dall'idea che il sistema nero fosse quello "giusto" e quello rosso fosse quello "traslato", vale anche se invertiamo le parti e consideriamo quello rosso come sistema di partenza e quello nero traslato. In effetti entrambi le posizioni sono corrette, a patto di ricordarsi che nessuno è traslato in assoluto, ma è traslato rispetto all'altro.
Ogni sistema si crede al centro del mondo! (Un po' come le persone...)
In particolare se rivediamo l'intera storia dal punto di vista dei rossi, il centro nero nel loro sistema ha coordinate .
La regola che abbiamo trovato prima, cioè:
Le "mie" coordinate di P si ottengono sommando le coordinate che IO* attribuisco alla "altra" origine e le coordinate di P viste dagli "altri".
Dal punto di vista dei rossi la corrispondente dell'equazione diventa quindi:
Vediamo come si svolge la stessa storia vista dal punto di vista del sistema rosso...
Concludiamo notando che le coordinate di secondo i rossi sono esattamente le coordinate opposte a quelle che i neri attribuiscono ad (infatti se per i neri è tre quadretti a destra, per i rossi sarà tre quadretti a sinistra e così via).
In altre parole abbiamo che
Se teniamo conto di questo, ci accorgiamo che le formule dirette "dei rossi", le , coincidono esattamente con le inverse dei neri, cioè le formule .