Lezione 3. La danza dei numeri complessi: da z a z^n. Spirali nel piano di Argand Gauss

Auteur :Roberta Ingitti

Abbiamo visto nella lezione precedente come una successione di potenze di un numero complesso generi una SPIRALE. Ma una spirale di che tipo? L'argomento sarebbe degno di approndimento, ma si rischierebbe di perderci nei "vortici " delle spirali e di distogliere la nostra attenzione dal "mondo dei numeri complessi". Lasciamo a te, anche in futuro , la possibilità di approfondire l'argomento. Vogliamo solo sottoporre alla tua attenzione le definizioni delle spirali più note in matematica. 1. Spirali a crescita lineare Esempio: Spirale di Archimede

La distanza dal centro aumenta “a passi uguali”
I giri sono equidistanti tra loro
Ha un andamento regolare e uniforme

È la spirale più semplice da immaginare. 2. Spirali a crescita esponenziale : la Spirale logaritmica

La distanza cresce sempre più velocemente
I giri si allargano progressivamente
La forma resta sempre simile a sé stessa (autosimile)

È quella che compare spesso in natura (Nautilus, Nei girasoli, nelle pigne , Uragani e alcune Galassie....) 3. Spirali che si avvicinano al centro : Spirale iperbolica

La curva gira avvicinandosi sempre di più al centro
Non lo raggiunge mai
I giri diventano sempre più stretti

4. Spirali definite da leggi particolari :

Spirale di Fermat
Spirale di Fibonacci

Qui la crescita segue leggi specifiche (radice, successioni, ecc.).

Domanda!!

A livello intuitivo, ma anche riflettendo su come cresce il modulo e su come varia l'angolo delle potenze successive del numero complesso , a quale tipo tra quelli elencati, ti sembra appartenere la spirale delle potenze dei numeri complessi? Prova a dare una risposta e se vuoi motivala:

I DUE PROTAGONISTI PRINCIPALI : IL MODULO E L'ARGOMENTO!

Nella creazione e nella forma di una spirale delle potenze di numeri complessi scritti in forma esponenziale o trigonometrica ,

, un ruolo fondamentale assumono la quantità

, ovvero il modulo del numero complesso ( la distanza di

dall'Origine) e l'angolo

, l'argomento ( ovvero la direzione del vettore corrispondente al numero complesso

). In questa attività guidata ti verrà chiesto di scoprire come le potenze di numeri complessi generano comportamenti "diversi" (spirali divergenti, convergenti o circonferenze) e che ruolo hanno i due "protagonisti" principali, modulo

e argomento

RUOLO DI r NELLA FORMULA DELLA POTENZA DEL NUMERO COMPLESSO z

La prima applet di Geogebra che ti viene proposta è finalizzata a scoprire il ruolo di

, modulo del numero z 1. Apri GeoGebra e inserisci un numero complesso,

avente un argomento fissato (18°) e modulo variabile

Automaticamente sarà generato uno slider

che devi impostare come numero intero, che varia da 0 a 5 2. Inserisci la retta passante per l'origine e il punto

Successione

Sequence

costruire una lista di oggetti, ripetendo una stessa regola al

variare di un indice

Struttura generale Il comando ha questa forma:

Successione

prendi una espressione che contenga una variabile
fai variare la variabile (di solito la variabile è un indice, come
dai all'indice un valore iniziale a uno finale
scegli l'incremento della variabile e raccogli tutti gli risultati in una lista.

Vedrai comparire accanto al comando la lista costituita da n valori.

RUOLO DI r NELLA GENERAZIONE DELLA SPIRALE

Valutazione sulla "diversità" delle spirali al variare di r, modulo del numero complesso

Fai variare lo slider per capire cosa cambia nella Successione di punti che formano la spirale ( o meglio come si distribuiscono, verso cosa tendono....). Cosa puoi dire in generale? Fai una analisi più accurata considerando variando r e descrivi quello che vedi :

0<<1
=1
>1

Cosa puoi dire? cosa noti al variare di

ENTRIAMO NEL DETTAGLIO: Caso r=1

Avrai osservato che se la spirale non si viene a formare.

Che tipo di curva descrive la successione di punti generata dalle potenze del numero, o meglio su quale curca si distriduiscono le potenze del numero complesso ?
Sapresti scrivere l'equazione di quella particolare "curva " nel piano complesso e paragonarla all'equazione dellla stessa nel piano cartesiano?

SPIRALI DIVERGENTI E CONVERGENTI - r diverso da 1

Caso Leggi con attenzione le due definizioni:

SPIRALE CONVERGENTE: Una spirale si definisce convergente quando, procedendo lungo la curva, la distanza dal polo ( il polo di una spirale è il punto centrale , spesso indicato con O, attorno al quale la curva si avvolge indefinitamente) diminuisce progressivamente. Le spire si avvolgono su se stesse, restringendosi man mano che ci si avvicina al centro.

SPIRALE DIVERGENTE: Una spirale si definisce divergente quando, procedendo lungo la curva, la distanza dal polo (centro) aumenta progressivamente. Le spire si allargano sempre di più man mano che si allontanano dal centro.

In base a quanto osservato dalla precedente applet di Geogebra, puoi affermare che :

Vérifier ma réponse

SPIRALE CONVERGENTE: VERSO COSA CONVERGE LA SPIRALE, OVVERO A COSA TENDE LA SPIRALE PER n CHE TENDE AD INFINITO?

La spirale non “sceglie” il centro: è forzata dal fatto che:

ovvero

tende a 0 , essendo

Quindi il centro (punto limite) è sempre l’origine. Il polo di una spirale logaritmica può essere considerato un attrattore nel contesto dei sistemi dinamici, quando la spirale viene interpretata come la traiettoria di un punto che si muove verso il centro.

SPIRALE DIVERGENTE: QUAL E' IL LIMITE DELLA SPIRALE, PER n CHE TENDE AD INFINITO??

La spirale, creata da

, diverge quando

In questo caso:

al crescere di
i punti si allontanano sempre di più

→ ottieni una spirale che diverge verso infinito

RUOLO DI ALFA NELLA FORMULA DELLA POTENZA DEL NUMERO COMPLESSO z

La seconda applet di Geogebra che ti viene proposta è finalizzata a scoprire il ruolo di

, argomento del numero

1. Apri GeoGebra e inserisci uno slider

che devi impostare come angolo, che varia da 0 a 360° 2. un numero complesso,

avente un modulo fissato (1.1 ) e argomento variabile

: 3. Genera le potenze di

attraverso il comando :

. Ti ricordiamo che Il comando Successione di GeoGebra (in inglese Sequence) serve per costruire una lista di oggetti, ripetendo una stessa regola al variare di un indice. 4. Genera la successione dei vettori punto origine - punto complesso, per ogni punto che rappresenta una potenza di

; a tale scopo introduci:

. Tracciando la successione di vettori che rappresentano i punti complessi, puoi osservare meglio come tra due potenze successive l'angolo

si mantiene costante (rotazione costante). Nelle impostazioni della successione di vettori , riduci lo spessore della linea e usa il tratteggiato. L'immagine risulterà più chiara.

4. Visualizza anche la Spezzata (poligonale), ovvero una figura formata da una sequenza ordinata di segmenti consecutivi non allineati. I segmenti congiungono i punti consecutivi che rappresentano le potenze del numero complesso, quindi

......

) . Utilizza il comando

, Questa poligonale ti aiuterà nelle osservazioni. Nelle impostazioni della spezzata puoi variare il colore, lo spessore della spezzata. N.B. Il comando Spezzata in GeoGebra genera una poligonale aperta, ovvero una sequenza di segmenti consecutivi definiti da una lista di punti. Si utilizza digitando Spezzata( l1 )nella barra di inserimento, creando segmenti consecutivi dal primo all'ultimo punto indicato.

RUOLO DI ALFA NELLA GENERAZIONE DELLA SPIRALE

Visualizzazione della distribuzione dei punti della successione delle potenze intere di z al variare dell'argomento di z

Fai variare lo slider , da valori piccoli ( equivale a considerare un numero complesso di partenza con argomento piccolo) a valori via via più grandi.

Come sono distribuiti i punti ?
Osserva anche come cambiano i vettori...................................
Osserva che più piccolo è l'angolo, più la spezzata .......................................
Fai tue cosiderazioni nello spazio risposta

E ORA DISEGNA LA TUA SPIRALE!!!

Ora sari tu a creare una spirale: 1. puoi scegliere di creare uno slider per

, e lasciare fisso

2. puoi scegliere di creare uno slider per

e lasciare fisso r 3. puoi scegliere di inserire entrambe le grandezze come slider 4. puoi cambiare lìaspetto dei punti, dei vettori , della spezzata. 5. anima gli slider e fai le tue osservazioni!!