Jacobi elliptic functions
- Author:
- Walter Füchte
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions december 2021
wikipedia Jacobi elliptic functions "Mathematically, Jacobian elliptic functions are doubly periodic meromorphic functions on the complex plane." . . . "The complex plane can be replaced by a complex torus." "Doppelt periodisch" bedeutet: diese elliptischen Funktionen bilden ein Parallelogramm in der komplexen Ebene in 2 Richtungen periodisch ab in die um erweiterte kompakte Möbiusebene . Die Richtungen, in welche sich die komplexen Funktionswerte wiederholen, können die Richtungen der Parallelogramm-Grenzen sein: in diesen Richtungen ergeben sich geschlossene Kurven. Jacobi (1804 - 1851) hat 12 elliptische Funktionen definiert; aus den folgenden 3 von ihnen lassen sich die übrigen erzeugen, wir charakterisieren sie durch ihre elliptischen Differentialgleichungen. Der Modul wird in der Regel reell als angegeben; allerdings könne der Modul auch komplex sein.- - sinus amplitudinis - - Differentialgleichung: , Brennpunkte:
- - cosinus amplitudinis - - Differentialgleichung: , Brennpunkte:
- - delta amplitudinis - - Differentialgleichung: , Brennpunkte:
Jacobi - sn - cn - dn
Die Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichungen oben sind aus der Lage der Brennpunkte mit Hilfe der
Leitkreise "konstruiert".
Für sn und dn sind die Brennpunkte konzyklisch, hier liegen sie auf der reellen Achse, symmetrisch zu den Achsen und
zu einem reellen und einem imaginären Kreis.
Für cn liegen die Brennpunkte paarweise symmetrisch auf den Achsen.
Durch eine einfache Möbiustransformation kann man für die Brennpunkte und die Lösungskurven die in den
vorangegangenen Aktivitäten aufgezeigte Normal-Lage erreichen.
Leider sind in geogebra elliptische Funktionen nicht implementiert; sonst könnte man die Lösungskurven der Differential-
Gleichungen einfach als Bilder der achsenparallelen Geraden, stückweise parametrisiert, darstellen, wie dies in
geogebra zB. für die Exponential-Funktion einfach möglich ist.
In mathematica sind die Jacobi-elliptischen Funktionen implementiert, die Parameterdarstellung der Lösungskurven ist
dort jedoch auch nicht besonders einfach zu verwirklichen. wolfram: JacobiSN
Für das Applet unten wurden für Listen von Punkten auf achsenparallelen Geradenstücken die
Werte unter der Mathematica-Funktion JacobiSN(z;m) ausgewertet; dabei ist der Modul m = k2 ,
ist der oben für die Differentialgleichung von angegebene Parameter.
In Mathematica sind die Punkt-Listen als Listen von komplexen Zahlen gegeben: z.B. .
Diese Listen kann man einfach in geogebra als Liste von komplexen Zahlen einfügen und graphisch anzeigen lassen.
Im Beispiel ist ; die Brennpunkte sind also
Durch jeden Punkt z gehen zwei, orthogonale Lösungskurven - im Applet konstruiert als Ortskurven mit Hilfe der Leitkreise.
Da die Brennpunkte nahe beieinander liegen, gelingt geogebra die Anzeige
der Ortskurve für manche Lagen von z nicht.
Die Lösungskurven sind 2-teilige bizirkulare Quartiken mit den angegebenen Brennpunkten.
Links:
geogebra-book Möbiusebene Kap.: Spezielle komplexe Funktionen
- Kap.: Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen
- Kap.: Bizirkulare Quartiken - Hermitesche Formen