Quadrilatère de Varignon
- Auteur :
- Debart Patrice
ABC est un triangle quelconque,. Autour de ABC, deux triangles ACQ et ABR rectangles en A, isocèles, complétés par un quatrième triangle AQR,
I, O_B, J et O_C sont les milieux des côtés du quadrilatère BCQR.
Montrer que le quadrilatère IO_BJO_C est un carré.
Solution
La rotation de centre A et d'angle pi/2 transforme [RC] en [BQ.
Les deux diagonales [CR] et [BQ] sont donc de longueur égale et perpendiculaires.
Le quadrilatère BCQR est un pseudo-carré.
Le théorème de Varignon affirme que IO_BJO_C est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère ABEC,
avec IO_B = 1/2 BQ et IO_C = 1/2 CR.
Comme les deux diagonales du pseudo-carré sont égales et perpendiculaires, il en est de même pour celles du parallélogramme IO_BJO_C, ce qui permet d'assurer que c'est un carré.
Descartes et les Mathématiques - Quadrilatère de Varignon