Kuvvetler Farkının Kanıtı ve Polinomlara Uygulanım Örneği
Lise yıllarımızdan itibaren;
eşitliklerini biliriz. Bu yazıda yukarıdaki eşitliklerin genel hali olan kuvvetler farkının çarpanlara ayırma bağıntısını gösterip, kanıtını yapacağız. Bulduğumuz sonucu katsayıları tamsayı olan polinomlar üzerine uygulayıp bu tip polinomlara dair güzel bir çıkarım elde edeceğiz. Önce genel form için eşitliğimizi yazalım:
Teorem: Her için,
eşitliği kanıtlayalım.
Kanıt: ifademizi toplam sembolü kullanarak derleyelim:
olacaktır. Parantez içini toplam sembolü üzerine dağıtalım.
birinci toplamdan ilk terimi, ikinci toplamdan son terimi ayıralım:
toplam sembollerinin sınırlarını eşit hale getirelim,
,
Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa:
olur kanıt tamamlanmıştır.
Buradan, ve tamsayı olmak üzere, sayısının her zaman sayısını böldüğünü söyleyebiliriz.
Şimdi bu eşitliğin bir uygulamasını yapalım; katsayıları tamsayı olan bir polinomu için sayısının sayısını böldüğünü kanıtlayalım.
Teorem: katsayıları tamsayı olan bir polinom olmak üzere;
için,
sayısı sayısını tam böler.
Kanıt: Önce polinom hatırlatması yapalım:
olarak ifade edilen yapılara polinom denir. sayıları polinomun katsayılarıdır.
ve sayılarını polinomda yerlerine yazarak başlayalım:
toplam sembolü ile derleyelim,
ve
olur. Şimdi bu iki ifadenin farkını alalım:
Yukarıdaki teoremden; her ve sayıları için, sayısının sayısını böleceğini biliyoruz.
Toplamı oluşturan terimlere bakalım:
her için, olduğundan
sayısı sayısını böler. Yani,
olur. kanıt tamamlanmıştır.
Şimdi Bulduğumuz bu sonucun ve Güvercin Yuvası İlkesinin harmanlandığı bir örnekle yazıyı sonuçlandıralım.
Örnek: katsayıları tamsayı olan bir polinom olsun. Her için, eğer eşitliğini sağlayan üç tamsayı varsa eşitliğini sağlayan bir tamsayı yoktur.
Çözüm: , ve şartını sağlayan üç tamsayı olsun. Yani,
olarak seçilsin ve olsun. Bu durumda yukarıda elde ettiğimiz çıkarımlardan;
şeklinde yazabiliriz. Öyleyse , ve sayıları ya 'e ya da 'e eşit olmalı, Buradan da üç tam sayıdan en az ikisinin birbirine eşit olacağını buluruz.
[Güvercin Yuvası İlkesi, Gauss]
Böylece , , ve sayılarından en az ikisinin eşit olması gerektiği çıkar. böylece çözümümüz tamamlanmıştır.
Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır (Syf. 8 Alıştırma 1.14 ve 1.15).
Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni