Análise geral do comportamento de uma função
O objetivo dessa ativadade é utilizar as técnicas envolvendo derividas para enteder o comportamento de uma função e esboçar seu gráfico. Vamos criar um passo a passo que serve apenas para nos auxiliar, mas não precisa necessariamente ser seguido nessa ordem.
Como esboçar o gráfico de uma função:
Ingredientes:
uma função , sua derivada primeira e sua derivada segunda .
Passo 0: Encontrar o domínio.
Passo 1: Encontrar a intersecção com o eixo vertical e o eixo horizontal (algumas vezes calcular a intersecção com o eixo horizontal pode ser muito difícil, nesse caso, siga a diante).
Passo 2: Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 3: Encontrar os pontos críticos.
Passo 4: Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais.
Passo 5: Determinar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 6: Verificar se existem assíntotas verticais e horizontais.
Pronto agora é só utilizar as informações acima e esboçar o gráfico da função.
Exemplo: Esboce o gráfico de
Ingredientes:
Passo 0: Domínio
Essa função é uma função polinomial e portanto está definida em toda a reta, isto é,
Passo 1: Intersecção com os eixos
Intersecção com o eixo vertical:
Temos que
logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto .
Intersecção com o eixo horizontal:
Temos que resolver a equação , isto é,
embora seja possível determinar se a equação possui solução e se possuir quais seriam, vamos optar por pular.
Passo 2: Crescimento e Decrescimento
Intervalos de crescimento :
Temos que
como é maior que zero para todo o , temos que
para todo e , portanto é crescente no intervalo .
Intervalos de decrescimento :
como é maior que zero para todo o , temos que
para todo e portanto é decrescente no intervalo .
Passo 3: Pontos Críticos
logo temos , se neste caso , logo os pontos críticos ocorrem em e .
Passo 4: Máximos e Mínimos
Vamos utilizar o Teste da Derivada Segunda.
logo o ponto é um ponto de mínimo local.
nesse caso não podemos afirmar nada.
Passo 5: Concavidade e Inflexão
Queremos analisar o sinal de
observamos que o polinômio possui raizes no pontos 1/3 e 1, logo
para todo o ou
e para todo o .
então é concâva pra cima nos intervalo e ,
e é concâva pra baixo no intervalo
Além disso como troca de concavidade em , logo temos dois pontos de inflexão.
Passo 6: Assíntotas
Como não haverá assíntotas verticais. Além disso tempos que
e , então não haverá assíntotas horizontal.
Exemplo: Esboce o gráfico de
Ingredientes: Passo 0: Domínio Precisamo que portanto temos que e , logo . Passo 1: Intersecção com os eixos Intersecção com eixo vertical: , logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto . Intersecção com eixo horizontal: , logo a intersecção com o eixo horizontal ocorre no ponto . Passo 2: Crescimento e Decrescimento Queremos analisar o sinal de como é sempre positivo temos quePortanto é crescente nos intervalos e . Da mesmas forma
Portanto é decrescente nos intervalos e . Passo 3: Pontos Críticos . O único ponto crítico ocorre em . Passo 4: Máximos e Mínimos Vamos utilizar o Teste da Derivada Primeira. Como a derivada muda de negativa para positiva em temos que o ponto é um ponto de máximo local. Passo 5: Concavidade e Inflexão Queremos analisar o sinal de como é sempre positivo temos que
ou
logo temos que é côncava para cima nos intervalos e . Da mesma forma temoslogo temos que é côncava para baixo no intervalo . Passo 6: Assíntotas Temos que analisar os limites da quando tende a . . . Com isso temos que é uma assíntota horizontal e e são assíntotas verticais.
Exercício: Esboce o gráfico das funções abaixo
a)
b)
c)
d)
a)-(1/4)*x^4+(5/3)*x^3-2*x^2
b)(x^2+2)/(x)
c)(4)/(sqrt(x+2))
d)ln (2*x+3)