O intersecție buclucașă

Când punctul F se rotește în jurul centrului O, al pătratului mai mic, cele trei poligonane colorate, determinate de intersecția celor două pătrate nu își modifică ariile.
Prima întrebare este, de ce se petrece acest fenomen? A doua întrebare este, ce mărimi au aceaste arii, exprimate în pătrățelele din rețea?

Oare, istoria se repetă pentru orice pereche de poligoane regulate cu acelaşi număr de laturi? Heptagonul de mai jos ne spune, fără cuvinte, că el nu beneficiază de acest bonus, ori că nu se supune acestei reglementări ...

În cele două exemple anterioare, intersecţia dintre poligoane e determinată de unghiul cu vârful în centrul poligonului "mai mic". Vom considera, în continuare, intersecţia dintre un poligon regulat şi un unghi cu vârful în O, centrul poligonului regulat. Ne interesează, în ce condiţii pentru unghi, aria intersecţiei rămâne constantă, la rotirea unghiului în jurul lui O. O primă idee, dacă poligonul are n laturi, valoarea unghiului să fie , exact valoarea unghiului la centru, corespunzător unei laturi a poligonului.
Această observaţie, ne spune de ce aria intersecţiei este constantă doar în cazul pătratului. Măsura unghiului la centru trebuie să fie egală cu măsura unghiului poligonului: , de unde, rezultă o singură valoare pentru n, anume n=4. O a doua idee, ar fi să alegem unghiul la centru, astfel încât, distanţa dintre cele două puncte, determinate de unghi pe poligon să rămână constantă, când unghiul se roteşte în jurul punctului O.